गणना का मूलभूत सिद्धांत
गुणन सिद्धांत: यदि एक घटना m तरीकों से हो सकती है, और उसके बाद दूसरी घटना n तरीकों से, तो दोनों क्रम से m × n तरीकों से हो सकती हैं। यह तीन या अधिक घटनाओं पर भी लागू है।
उदाहरण: ताले में 3 छल्ले, हर एक पर 0–9 अंक। कोड = 10 × 10 × 10 = 1000।
योग सिद्धांत: यदि काम m तरीकों से या n अलग तरीकों से हो सकता है, तो कुल m + n तरीके। ‘और’ = गुणा, ‘या’ = जोड़।
क्रमगुणित संकेतन
n! (‘n क्रमगुणित’) = 1 × 2 × 3 × … × n। जैसे 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720।
- 0! = 1 माना जाता है, ताकि ⁿPₙ = n!/0! सही रहे।
- n! = n × (n − 1)!, तो 7!/5! = 7 × 6 = 42। सब गुणा करने के बजाय काटें।
क्रमचय: nPr सूत्र
क्रमचय एक निश्चित क्रम में व्यवस्था है। n भिन्न वस्तुओं में से r को (बिना दोहराव) सजाना: पहले स्थान के n विकल्प, दूसरे के n − 1, …, r-वें के n − r + 1। इसलिए
ⁿPᵣ = n(n − 1)…(n − r + 1) = n!/(n − r)!, 0 ≤ r ≤ n।
- ⁿPₙ = n!, ⁿP₀ = 1।
- दोहराव की अनुमति हो तो व्यवस्थाएँ nʳ।
- n वस्तुओं में p एक तरह की समान, q दूसरी तरह की समान हों, तो सभी की व्यवस्थाएँ n!/(p! q! …)। जैसे MISSISSIPPI: 11!/(4!·4!·2!) = 34650।
संचय: nCr सूत्र और nPr से संबंध
संचय ऐसा चयन है जिसमें क्रम मायने नहीं रखता। r वस्तुओं के हर चयन को r! तरीकों से सजाया जा सकता है, और सब चयनों के लिए ऐसा करने पर सारी ⁿPᵣ व्यवस्थाएँ मिलती हैं। इसलिए
ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r!, यानी ⁿCᵣ = n!/(r!(n − r)!)।
- ⁿC₀ = ⁿCₙ = 1।
- ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ: r को लेना चुनना = n − r को छोड़ना चुनना (3D चरण 5)। इसलिए ⁿCₐ = ⁿC_b हो तो a = b या a + b = n।
- ⁿCᵣ + ⁿCᵣ₋₁ = ⁿ⁺¹Cᵣ (पास्कल नियम, द्विपद प्रमेय में फिर आएगा)।
सरल अनुप्रयोग: कौन-सा सूत्र लगाएँ?
पूछें: क्या क्रम बदलने से परिणाम बदलता है? बैठाना, रैंक देना, संख्याएँ या शब्द बनाना, पासवर्ड → क्रमचय। टीम, समिति, हाथ मिलाना, प्रश्न चुनना → संचय।
- 10 लोगों में हाथ मिलाना: ¹⁰C₂ = 45।
- n भुजाओं वाले बहुभुज के विकर्ण: ⁿC₂ − n।
- शर्त वाले शब्द (स्वर साथ रहें): उन्हें एक गुच्छा मानें, फिर गुच्छे के अंदर की व्यवस्थाओं से गुणा करें।
- ‘कम से कम’ प्रश्न: अलग-अलग स्थितियाँ गिनकर जोड़ें।
बोर्ड परीक्षा के लिए
पूछा जाता है: ⁿP₄ = 12 · ⁿP₂ जैसे समीकरण से n (2–3 अंक), दोहराव या शर्त वाले अक्षरों की व्यवस्था (3–4 अंक), ‘कम से कम’ वाली समिति (3–4 अंक), ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ पर प्रश्न (1–2 अंक)। संख्याओं से पहले गिनने का कारण शब्दों में लिखें।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- गणना सिद्धांत: m तरीके फिर n तरीके → m × n
- n! = 1 × 2 × … × n, 0! = 1, n! = n(n − 1)!
- ⁿPᵣ = n!/(n − r)!; दोहराव सहित nʳ
- समान वस्तुएँ: n!/(p! q! r! …)
- ⁿCᵣ = n!/(r!(n − r)!), ⁿPᵣ = ⁿCᵣ · r!
- ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ; ⁿCᵣ + ⁿCᵣ₋₁ = ⁿ⁺¹Cᵣ
हल किए गए उदाहरण
1. अंक 1, 2, 3, 4, 5 से 3 अंकों की कितनी संख्याएँ बनेंगी यदि (i) अंक दोहरा सकते हैं (ii) नहीं दोहरा सकते?
(i) हर स्थान के 5 विकल्प: 5 × 5 × 5 = 125। (ii) 5, फिर 4, फिर 3: 5 × 4 × 3 = 60 = ⁵P₃।
2. 8!/(6! × 2!) ज्ञात कीजिए।
8! = 8 × 7 × 6!, तो 8!/6! = 56। 2! = 2 से भाग: 28 (यही ⁸C₂ है)।
3. 6 लोग एक पंक्ति की 6 कुर्सियों पर कितने तरीकों से बैठ सकते हैं? इनमें से कितनों में दो मित्र A और B साथ बैठते हैं?
सभी: 6! = 720। साथ: A और B को एक गुच्छा मानें, 5 इकाइयाँ → 5! = 120। गुच्छे के अंदर A, B की जगह बदल सकती है: 2! = 2। कुल 240।
4. BANANA के सभी अक्षरों से कितने शब्द (अर्थ सहित या रहित) बनेंगे?
6 अक्षर: B×1, A×3, N×2। शब्द = 6!/(3! · 2!) = 720/12 = 60।
5. यदि ⁿP₅ = 42 · ⁿP₃ (n > 4), तो n ज्ञात कीजिए।
n(n−1)(n−2)(n−3)(n−4) = 42 · n(n−1)(n−2)। काटने पर (n − 3)(n − 4) = 42 = 7 × 6। तो n − 3 = 7, n = 10।
6. 6 पुरुषों और 5 महिलाओं में से 3 पुरुष और 2 महिलाओं की समिति कितने तरीकों से बन सकती है?
पुरुष: ⁶C₃ = 20। महिलाएँ: ⁵C₂ = 10। दोनों चाहिए (‘और’), इसलिए गुणा: 200।
7. यदि ⁿC₉ = ⁿC₈, तो ⁿC₁₇ ज्ञात कीजिए।
a ≠ b होने पर a + b = n, तो n = 17। ¹⁷C₁₇ = 1।
8. 4 लाल और 5 नीली गेंदों में से 3 गेंदें कितने तरीकों से चुनें कि कम से कम 2 लाल हों?
2 लाल + 1 नीली: ⁴C₂ × ⁵C₁ = 30। 3 लाल: ⁴C₃ = 4। स्थितियाँ अलग (‘या’), इसलिए जोड़: 34।
आम गलतियाँ
- टीम या समिति के लिए nPr लगाना। चुने गए दो लोगों की अदला-बदली से वही समूह बने तो nCr लगाएँ।
- गुणा की जगह जोड़ना। ‘यह और फिर वह’ = गुणा; ‘यह या वह’ = जोड़।
- APPLE या BANANA जैसे शब्दों में दोहराए अक्षरों के क्रमगुणित से भाग देना भूलना।
- 0! = 0 मानना। परिभाषा से 0! = 1।