Netherlands HAVO 4 (bovenbouw, 2e fase) Mathematics A
अध्याय: 5
1. Skills
General skills · Profile-specific skills · Mathematical skills
- शोध कौशल: प्रश्न से पूरे प्रोजेक्ट तक – शोध उत्तर खोजने का सावधान तरीका है। आप एक साफ़, सीमित प्रश्न पूछते हैं, उसका उत्तर पाने की योजना बनाते हैं, जानकारी खोजते हैं और हर स्रोत पर भरोसे की जाँच करते हैं, अपने आँकड़े जुटाकर विश्लेषण करते हैं, सबूत पर टिका निष्कर्ष निकालते हैं, और हर स्रोत को श्रेय देते हुए उसे साझा करते हैं।
- गणितीय निदर्शन: गणित से असली दुनिया को समझना – गणितीय मॉडल (mathematical model) एक समीकरण, ग्राफ़ या तालिका है जो किसी असली स्थिति को सरल तरीके से बताती है। मॉडलिंग चक्र: असली समस्या समझो → चर चुनो और मान्यताएँ बनाओ → मॉडल बनाओ (जैसे रैखिक, द्विघात या चरघातांकी) → हल करो और अनुमान लगाओ → असली आँकड़ों से जाँचो → मॉडल सुधारो या उसकी सीमा बताओ। कोई मॉडल पूरी तरह सही नहीं होता; अच्छा मॉडल सरल होता है और काम लायक सही होता है।
- गणित में समस्या-समाधान – समस्या वह प्रश्न है जिसकी विधि तुम्हें अभी पता नहीं। अच्छा हल करने वाला चार चरण अपनाता है: समस्या को समझना और परखना, रणनीति (ह्यूरिस्टिक) चुनकर योजना बनाना (चित्र बनाना, छोटे उदाहरण, तालिका, पैटर्न, अनुमान-जाँच, उलटा चलना), योजना पर काम करना, और पीछे देखकर जाँच और विचार करना। n लोगों के हाथ मिलाने की समस्या, जिसका उत्तर n(n−1)/2 है, सारे चरण दिखाती है।
2. Algebra and counting
Arithmetic · Algebra · Counting problems
- प्रतिशत – प्रतिशत का अर्थ है "100 में से", इसलिए x% = x/100। किसी राशि का x% निकालने के लिए उसे x/100 से गुणा करें। प्रतिशत परिवर्तन = (परिवर्तन ÷ मूल) × 100। r% बढ़ाने के लिए (1 + r/100) से, r% घटाने के लिए (1 − r/100) से गुणा करें। क्रमागत परिवर्तनों में गुणकों को गुणा करते हैं। उल्टे प्रतिशत में नए मान को गुणक से भाग देते हैं।
- बीजीय व्यंजक: चर, पद और सरलीकरण – बीजीय व्यंजक में अक्षर (चर) और संख्याएँ +, −, × और ÷ से जुड़े होते हैं, जैसे 3x + 2। चर एक ऐसी संख्या के लिए खड़ा है जो बदल सकती है। व्यंजक पदों से बनता है (3x और 2)। 3x में 3 गुणांक है; बिना अक्षर वाला पद, जैसे 2, अचर पद है। समान पदों का अक्षर वाला भाग बिल्कुल एक जैसा होता है (3x और 5x) और वे जुड़ सकते हैं; असमान पद (3x और 2, या x और x²) नहीं जुड़ते। प्रतिस्थापन यानी अक्षर की जगह संख्या रखकर मान निकालना। विस्तार कोष्ठक हटाता है: a(b + c) = ab + ac। गुणनखंडन उल्टा है: उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालना। सूत्र एक व्यंजक है जो दूसरी राशियों से एक राशि देता है, और सर्वसमिका अक्षर के हर मान पर सही होती है।
- क्रमचय और संचय – इस अध्याय का मूल है: बिना सूची बनाए गिनना। गणना का मूल सिद्धांत कहता है: यदि एक काम m तरीकों से और उसके बाद दूसरा n तरीकों से हो सकता है, तो दोनों मिलकर m × n तरीकों से होते हैं। n! (n क्रमगुणित) = 1 × 2 × … × n, और 0! = 1। क्रमचय एक व्यवस्था है, जिसमें क्रम मायने रखता है: n भिन्न वस्तुओं में से r को व्यवस्थित करने के तरीके ⁿPᵣ = n!/(n − r)!। संचय एक चयन है, जिसमें क्रम मायने नहीं रखता: ⁿCᵣ = n!/(r!(n − r)!)। हर चयन को r! तरीकों से सजा सकते हैं, इसलिए ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r!। उपयोगी तथ्य: ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ और ⁿCᵣ + ⁿCᵣ₋₁ = ⁿ⁺¹Cᵣ। कुछ वस्तुएँ समान हों तो हर दोहराव की संख्या के क्रमगुणित से भाग दें।
3. Relationships (part 1)
Tables · Graphs, equations and inequalities · Formulas with one or more variables
- मूल फलनों के ग्राफ़ और ग्राफ़ से समीकरण हल करना – ग्राफ़ वे सारे बिंदु (x, y) दिखाता है जिनमें y = f(x)। पाँच आकार बार-बार आते हैं: परवलय y = x², घन वक्र y = x³, आधा परवलय y = √x, V आकार y = |x| और अतिपरवलय y = k/x। हर एक का प्रांत, परिसर, सममिति, कहाँ बढ़ता-घटता है और अक्षों को कहाँ काटता है, यह सीखो। फिर ग्राफ़ से समीकरण (जहाँ ग्राफ़ कटें) और असमिका (जहाँ एक ग्राफ़ दूसरे से ऊपर हो) हल करो।
- बीजीय व्यंजक: चर, पद और सरलीकरण – बीजीय व्यंजक में अक्षर (चर) और संख्याएँ +, −, × और ÷ से जुड़े होते हैं, जैसे 3x + 2। चर एक ऐसी संख्या के लिए खड़ा है जो बदल सकती है। व्यंजक पदों से बनता है (3x और 2)। 3x में 3 गुणांक है; बिना अक्षर वाला पद, जैसे 2, अचर पद है। समान पदों का अक्षर वाला भाग बिल्कुल एक जैसा होता है (3x और 5x) और वे जुड़ सकते हैं; असमान पद (3x और 2, या x और x²) नहीं जुड़ते। प्रतिस्थापन यानी अक्षर की जगह संख्या रखकर मान निकालना। विस्तार कोष्ठक हटाता है: a(b + c) = ab + ac। गुणनखंडन उल्टा है: उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालना। सूत्र एक व्यंजक है जो दूसरी राशियों से एक राशि देता है, और सर्वसमिका अक्षर के हर मान पर सही होती है।
4. Change
Describing change
- परिवर्तन की दर: कितनी तेज़ी से बदलता है? – परिवर्तन की दर बताती है कि इनपुट में एक इकाई बदलने पर आउटपुट कितना बदलता है। ग्राफ़ ऊपर जा सकता है (बढ़ता हुआ), नीचे आ सकता है (घटता हुआ) या किसी सबसे ऊँचे या सबसे नीचे बिंदु पर मुड़ सकता है। दो इनपुट a और b के बीच बदलाव नापने के लिए इनपुट का बदलाव Δx = b − a और आउटपुट का बदलाव Δy = f(b) − f(a) निकालते हैं। औसत परिवर्तन दर Δy ÷ Δx होती है, यानी दोनों बिंदुओं से गुज़रती सीधी रेखा (छेदक रेखा) की ढलान। अंतर की सारणी बताती है कि बदलाव एकसमान है (बराबर अंतर, रैखिक) या तेज़ होता जा रहा है (बढ़ते अंतर, जैसे चरघातांकी)। जब दोनों बिंदु बहुत पास आ जाएँ, तो औसत दर ग्राफ़ की उस बिंदु पर ढलान बन जाती है। अनुक्रम नियम से बनी संख्याओं की सूची है: पुनरावर्ती सूत्र पिछले पद से अगला पद देता है और सीधा सूत्र किसी भी पद को सीधे देता है।
5. Statistics (part 1)
Interpreting and judging data displays · Processing data · Statistics with ICT
- डेटा विश्लेषण – डेटा विश्लेषण यानी कच्चे आँकड़ों को जवाब में बदलना। इसका एक चक्र है: सवाल पूछो, डेटा इकट्ठा करो, साफ़ करो (ग़लती, दोहराव और खाली जवाब हटाओ), व्यवस्थित करो, माध्य, माध्यिका, परास और पैटर्न से विश्लेषण करो, सही चार्ट बनाओ और सावधानी से निष्कर्ष निकालो। बाहरी मान, छोटे नमूने और पक्षपात पर नज़र रखो, और याद रखो कि दो चीज़ों का साथ बढ़ना (सहसंबंध) यह साबित नहीं करता कि एक दूसरे का कारण है। डेटा को सुरक्षित रखना और अनुमति से इस्तेमाल करना भी ज़रूरी है।
- सांख्यिकी: वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य, माध्यक और बहुलक – जब आँकड़े वर्गों में बँटे हों (जैसे अंक 20–30), तो हर एक मान नहीं दिखता। माध्य के लिए हर वर्ग का बीच का मान लेते हैं, माध्यक के लिए चलता जोड़ (संचयी बारंबारता), और बहुलक के लिए सबसे ऊँचा खंभा। तीनों अलग तरीके से आँकड़ों का 'केंद्र' बताते हैं।
- सांख्यिकीय जाँच चक्र – सांख्यिकीय जाँच आँकड़ों से किसी सवाल का जवाब पाँच चरणों में ढूँढती है: समस्या (साफ़ सवाल), योजना (किससे, क्या, कैसे पूछना है), आँकड़े (इकट्ठा करना और लिखना), विश्लेषण (सारणी, आलेख, औसत) और निष्कर्ष (जवाब, सीमाएँ, नया सवाल)। फिर चक्र दोबारा शुरू हो सकता है।