चर और अचर
चर (variable) एक अक्षर (x, y, n, a…) है जो किसी संख्या के लिए खड़ा है। इसका मान बदल सकता है। अचर (constant) वह संख्या है जिसका मान तय है, जैसे 5 या −2।
अक्षर क्यों? अक्षर से एक ही नियम बहुत-सी संख्याओं पर लग जाता है। "वर्ग की भुजा s" हो तो हर वर्ग का परिमाप 4s: s = 3 सेमी पर 12 सेमी, s = 10 सेमी पर 40 सेमी।
बीजीय व्यंजक चरों और अचरों को +, −, × या ÷ से जोड़ता है। उदाहरण: 3x + 2, 5a − 4b, x² + 7, n/2। व्यंजक में बराबर का चिह्न नहीं होता; समीकरण में होता है (3x + 2 = 14)।
लिखने के नियम: 3 × x को 3x लिखते हैं (संख्या पहले, × नहीं); x × x = x²; 1x को सिर्फ़ x।
पद, गुणांक और व्यंजकों के प्रकार
+ या − से जुड़े व्यंजक के भाग उसके पद हैं। 4x² − 3x + 7 में पद हैं 4x², −3x और 7। आगे का चिह्न पद का ही हिस्सा है।
- गुणांक: पद का संख्या वाला भाग। −3x में −3। x² में 1।
- अचर पद: बिना अक्षर वाला पद (7)।
- पद के गुणनखंड: 4x² = 4 × x × x।
पदों की संख्या से नाम
- एकपदी: एक पद (5y)
- द्विपद: दो पद (3x + 2)
- त्रिपद: तीन पद (x² + 2x + 1)
- बहुपद: पूर्ण संख्या घातों वाले एक या अधिक पद
संरचना पढ़ना
व्यंजक को ब्लॉकों की तरह देखिए। 5(x + 2)² में पूरा (x + 2) एक ब्लॉक है जिसका वर्ग हुआ, फिर 5 से गुणा। ब्लॉक देखने से पता चलता है कि पहले क्या करना है, और जैसे यह भी कि इसका मान कभी ऋणात्मक नहीं होगा।
समान पद और सरलीकरण
समान पदों में बिल्कुल वही अक्षर उसी घात पर होते हैं: 3x और −5x; 2ab और 7ab; 4y² और y²। असमान पद अलग होते हैं: 3x और 3y; x और x²; x और 5।
समान पदों को जोड़ने-घटाने के लिए गुणांक जोड़िए-घटाइए और अक्षर वाला भाग वैसा ही रखिए: 7x + 2x = 9x; 5ab − 8ab = −3ab। असमान पद अलग रहते हैं: 3x + 4 कभी 7x नहीं बनता।
सरल करना = समान पद इकट्ठा करना। 2x + 3 + x + 1 = (2x + x) + (3 + 1) = 3x + 4। दोनों रूप तुल्य हैं: हर x पर एक ही मान देते हैं।
पदों का गुणा
पहले संख्याएँ गुणा कीजिए, फिर अक्षर: 3x × 4y = 12xy; 2a × 5a = 10a²; (−3m) × 2m² = −6m³।
प्रतिस्थापन: मान निकालना
व्यंजक का मान निकालने के लिए हर अक्षर की जगह उसकी संख्या रखिए और संक्रियाओं के क्रम से हल कीजिए (कोष्ठक, घात, × और ÷, फिर + और −)।
उदाहरण: a = 3, b = −2 पर 2a² − 3b: 2 × 3² − 3 × (−2) = 2 × 9 + 6 = 24।
सूत्र राशियों को जोड़ने वाला समीकरण है: आयत का क्षेत्रफल A = lw; चाल v = d/t; साधारण ब्याज I = PRT/100। दाईं ओर संख्याएँ रखिए, बाईं ओर का मान मिल जाएगा। सूत्र को पलटकर दूसरा अक्षर भी निकाल सकते हैं: v = d/t से d = vt।
कोष्ठक का विस्तार और गुणनखंडन
विस्तार में बंटन नियम लगता है: a(b + c) = ab + ac। बाहर वाला पद अंदर के हर पद से गुणा होता है। 3(x + 2) = 3x + 6; −2(y − 5) = −2y + 10; x(x + 4) = x² + 4x।
3D में 3(x + 2) एक आयत है जो 3 इकाई ऊँचा और x + 2 लंबा है: उसका क्षेत्रफल 3x + 6 है।
गुणनखंडन उल्टा काम है: सभी पदों का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड (HCF) बाहर निकालिए। 6x + 9 = 3(2x + 3); 4a² − 10a = 2a(2a − 5)। विस्तार करके जाँचिए।
सर्वसमिका
सर्वसमिका (identity) अक्षरों के हर मान पर सही होती है, जैसे 2(x + 3) = 2x + 6, या (a + b)² = a² + 2ab + b²। 2x = 6 जैसा समीकरण सिर्फ़ x = 3 पर सही है। सर्वसमिकाएँ "बीजीय सर्वसमिकाएँ" पाठ में विस्तार से हैं।
करके देखिए: घर पर टाइल बीजगणित
x के लिए काग़ज़ की पट्टियाँ (जैसे 6 सेमी) और 1 के लिए छोटे वर्ग (1 सेमी) काटिए। 2x + 3 + x + 1 बिछाइए, फिर एक जैसे टुकड़े पास खिसकाइए। गिनिए: 3 पट्टियाँ और 4 वर्ग। अब "एक पट्टी + दो वर्ग" की 3 पंक्तियाँ बिछाइए: 3(x + 2) = 3x + 6। 3D के खुद-खेलिए चरण में a और b चुनिए और देखने से पहले विस्तारित रूप का अनुमान लगाइए।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- पद = गुणांक × अक्षर वाला भाग, जैसे −3x² का गुणांक −3
- समान पद: ax + bx = (a + b)x
- बंटन नियम: a(b + c) = ab + ac; a(b − c) = ab − ac
- गुणनखंडन: ab + ac = a(b + c) (HCF बाहर निकालिए)
- x × x = x²; xᵃ × xᵇ = xᵃ⁺ᵇ
- सर्वसमिका: हर मान पर सही; समीकरण: कुछ मानों पर सही
हल किए गए उदाहरण
1. 5y² − 7y + 4 के पद और y का गुणांक लिखिए।
पद: 5y², −7y, 4। y का गुणांक = −7 (चिह्न साथ जाता है)। अचर = 4।
2. सरल कीजिए: 4a + 3b − a + 5b − 2
समान पद मिलाइए: (4a − a) + (3b + 5b) − 2 = 3a + 8b − 2।
3. x = 4 पर 3x + 2 का मान निकालिए।
3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14।
4. p = −2 और q = 5 पर 2p² − 3q का मान निकालिए।
p² = (−2)² = 4। तो 2 × 4 − 3 × 5 = 8 − 15 = −7।
5. विस्तार करके सरल कीजिए: 3(2x + 1) − 2(x − 4)
3(2x + 1) = 6x + 3; −2(x − 4) = −2x + 8। जोड़िए: 6x − 2x + 3 + 8 = 4x + 11।
6. गुणनखंड कीजिए: 12m² − 18m
12 और 18 का HCF 6; दोनों पदों में m है। तो 12m² − 18m = 6m(2m − 3)। जाँच: 6m × 2m = 12m², 6m × 3 = 18m। ✓
7. टैक्सी ₹50 तय और ₹12 प्रति किमी लेती है। d किमी के किराए का व्यंजक लिखिए और 15 किमी का किराया निकालिए।
किराया = 50 + 12d। d = 15 पर: 50 + 180 = ₹230।
आम गलतियाँ
- असमान पद जोड़ देना: 3x + 4 का मतलब 7x नहीं है। सिर्फ़ समान पद जुड़ते हैं।
- चिह्न भूलना: 5 − 2x में x का गुणांक −2 है, 2 नहीं।
- सिर्फ़ पहले पद से गुणा करना: 3(x + 2) = 3x + 6, न कि 3x + 2।
- ऋणात्मक का वर्ग ग़लत करना: x = −3 पर x² = 9 (−9 नहीं); कोष्ठक लगाइए (−3)²।