ज़रूरी शब्द
एकपदी (monomial) में एक ही पद होता है, जैसे 5, 3x या −2x²y। बहुपद (polynomial) पदों का योग है, जैसे x² + 5x + 6। द्विपद (binomial) में दो पद होते हैं, जैसे (x + 2)। आगे लिखी संख्या गुणांक है। समान पद में बिल्कुल वही अक्षर और वही घात होती है: 3x और 2x समान हैं; 3x और 3x² नहीं।
गुणा से पहले और बाद में पदों को घटती घात के क्रम में लिखो (x², फिर x, फिर संख्या) और समान पद जोड़ो।
एकपदी × एकपदी
पहले संख्याएँ गुणा करो, फिर अक्षर। एक ही अक्षर हो तो घातें जोड़ो: x^a · x^b = x^(a+b)।
- 2x · 3x = 6x²
- (−4a²b)(3ab³) = −12a³b⁴
- 5y · (−2y³) = −10y⁴
चिह्न नियम: (+)(+) = +, (−)(−) = +, (+)(−) = −।
एकपदी × बहुपद
बंटन नियम: a(b + c) = ab + ac। बाहर वाला पद कोष्ठक के हर पद से गुणा होता है।
2x(x + 3) = 2x² + 6x। −3a(a² − 2a + 5) = −3a³ + 6a² − 15a।
3D में यह 2x ऊँचा आयत है: एक नीला हिस्सा (2x²) और एक हरा हिस्सा (6x)।
बहुपद × बहुपद
पहले कोष्ठक के हर पद को दूसरे के हर पद से गुणा करो, फिर समान पद इकट्ठे करो।
(x + 2)(x + 3) = x·x + x·3 + 2·x + 2·3 = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6।
दो द्विपदों के लिए FOIL याद रखो: First, Outer, Inner, Last। लंबे बहुपद में गिनो: 2 पद × 3 पद = 6 गुणनफल, फिर जोड़ो।
(2x − 1)(x² + 3x − 4) = 2x³ + 6x² − 8x − x² − 3x + 4 = 2x³ + 5x² − 11x + 4।
बहुपद को एकपदी से भाग
भाग, गुणा का उल्टा है। हर पद को एकपदी से भाग दो और घातें घटाओ: x^a ÷ x^b = x^(a−b)।
(6x³ + 9x²) ÷ 3x = 2x² + 3x। जाँच: 3x(2x² + 3x) = 6x³ + 9x²।
पहले जोड़ना-घटाना
कई सवालों में पहले गुणा, फिर जोड़ या घटाव होता है। कोष्ठक के आगे ऋण चिह्न अंदर के हर चिह्न को बदल देता है: −(x² − 3x + 2) = −x² + 3x − 2।
(x + 1)(x + 4) − x(x + 2) = x² + 5x + 4 − x² − 2x = 3x + 4।
करके देखो: कागज़ की टाइलें
एक बड़ा वर्ग (x गुणा x, मान लो 6 सेमी), 5 पट्टियाँ (6 सेमी × 1 सेमी) और 6 छोटे 1 सेमी वर्ग काटो। भुजाओं (x + 2) और (x + 3) वाला आयत बनाओ। क्या ठीक 1 बड़ा वर्ग, 5 पट्टियाँ और 6 छोटे वर्ग लगे? यही x² + 5x + 6 है। अब (x + 1)(x + 4) बनाओ।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- x^a · x^b = x^(a+b)
- a(b + c) = ab + ac
- (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
- (ax^m + bx^n) ÷ cx^k = (a/c)x^(m−k) + (b/c)x^(n−k)
हल किए गए उदाहरण
1. 4a² × (−3a⁵) ज्ञात करो।
संख्याएँ: 4 × (−3) = −12। अक्षर: a² · a⁵ = a⁷। उत्तर: −12a⁷।
2. 3x(2x − 5) का प्रसार करो।
3x · 2x = 6x²। 3x · (−5) = −15x। उत्तर: 6x² − 15x।
3. (x + 4)(x + 5) का प्रसार करो।
F: x·x = x²। O: x·5 = 5x। I: 4·x = 4x। L: 4·5 = 20। जोड़ो: x² + 9x + 20।
4. (2y − 3)(y + 4) का प्रसार करो।
2y·y = 2y²। 2y·4 = 8y। −3·y = −3y। −3·4 = −12। जोड़ो: 2y² + 5y − 12।
5. (x + 2)(x² − x + 3) का प्रसार करो।
x·x² = x³, x·(−x) = −x², x·3 = 3x, 2·x² = 2x², 2·(−x) = −2x, 2·3 = 6। जोड़ो: x³ + x² + x + 6।
6. (12m⁴ − 8m³ + 4m²) को 4m² से भाग दो।
12m⁴ ÷ 4m² = 3m²। −8m³ ÷ 4m² = −2m। 4m² ÷ 4m² = 1। उत्तर: 3m² − 2m + 1।
7. (a + 3)(a − 2) − (a − 1)² को सरल करो।
(a + 3)(a − 2) = a² + a − 6। (a − 1)² = a² − 2a + 1। घटाओ: a² + a − 6 − a² + 2a − 1 = 3a − 7।
आम गलतियाँ
- सिर्फ पहले पद से गुणा करना: 2(x + 3) = 2x + 6 है, 2x + 3 नहीं।
- घातें जोड़ने के बजाय गुणा करना: x² · x³ = x⁵, x⁶ नहीं।
- बीच वाला पद भूल जाना: (x + 3)² = x² + 6x + 9, x² + 9 नहीं।
- ऋण चिह्न खो देना: (x − 2)(x + 5) में −2 · 5 = −10, तो अंतिम पद −10 है।