वैज्ञानिक संकेतन क्या है?
कुछ संख्याएँ बहुत बड़ी होती हैं, कुछ बहुत छोटी। सारे शून्य लिखने में समय लगता है और गलती भी जल्दी होती है।
वैज्ञानिक संकेतन (इसे मानक रूप भी कहते हैं) में संख्या ऐसे लिखते हैं:
a × 10ⁿ
- a 1 से लेकर 10 से कम तक की संख्या है। यानी 1 ≤ a < 10।
- n एक पूर्णांक है (धनात्मक, शून्य या ऋणात्मक)। इसे घात या घातांक कहते हैं।
उदाहरण: 5000 = 5 × 10³। 0.07 = 7 × 10⁻²। 6.2 = 6.2 × 10⁰।
ये मानक रूप नहीं हैं: 25 × 10³ (25 तो 10 से बड़ा है) और 0.5 × 10⁴ (0.5 तो 1 से छोटा है)।
10 की घातें
10 की घात यानी 10 को कुछ बार खुद से गुणा करना।
- 10¹ = 10, 10² = 100, 10³ = 1000, 10⁶ = 10 लाख (एक मिलियन)।
- 10⁰ = 1।
- 10⁻¹ = 1/10 = 0.1, 10⁻² = 0.01, 10⁻³ = 0.001।
आसान नियम: धनात्मक घात में n बताता है कि 1 के बाद कितने शून्य हैं। ऋणात्मक घात में n बताता है कि 1 दशमलव के बाद कितने स्थान पर है।
घातांक के नियम यहाँ भी चलते हैं: 10ᵐ × 10ⁿ = 10ᵐ⁺ⁿ और 10ᵐ ÷ 10ⁿ = 10ᵐ⁻ⁿ।
सामान्य रूप से वैज्ञानिक संकेतन और वापस
बड़ी संख्या (धनात्मक घात)
- दशमलव को पहले अशून्य अंक के ठीक बाद रखिए।
- गिनिए कि वह बाईं ओर कितने स्थान खिसका। वही n है।
- आख़िर के फ़ालतू शून्य हटा दीजिए।
4 560 000 → 4.56 (6 स्थान बाएँ) → 4.56 × 10⁶।
छोटी संख्या (ऋणात्मक घात)
- दशमलव को दाईं ओर खिसकाइए, जब तक वह पहले अशून्य अंक के बाद न आ जाए।
- स्थान गिनिए। n = ऋण चिह्न के साथ वह गिनती।
0.000 302 → 3.02 (4 स्थान दाएँ) → 3.02 × 10⁻⁴।
वापस सामान्य रूप
n धनात्मक: दशमलव n स्थान दाएँ। 7.1 × 10⁵ = 710 000। n ऋणात्मक: बाएँ। 2.5 × 10⁻³ = 0.0025।
वैज्ञानिक संकेतन में गुणा, भाग, जोड़
गुणा
a आपस में गुणा, घातें जोड़ें। (3 × 10⁴) × (2 × 10⁵) = 6 × 10⁹।
भाग
a का भाग, घातें घटाएँ। (8 × 10⁹) ÷ (2 × 10³) = 4 × 10⁶।
आगे की संख्या ठीक कीजिए
अगर उत्तर में आगे की संख्या 1 से 10 के बीच नहीं है, तो सुधारिए। (5 × 10³) × (4 × 10²) = 20 × 10⁵ = 2 × 10⁶ (20 = 2 × 10¹, इसलिए घात में 1 जोड़ा)।
जोड़ या घटाव
पहले घातें बराबर कीजिए। 3 × 10⁵ + 4 × 10⁴ = 3 × 10⁵ + 0.4 × 10⁵ = 3.4 × 10⁵।
कैलकुलेटर पर EXP या ×10ˣ बटन से घात डालते हैं। स्क्रीन पर 3E8 का मतलब 3 × 10⁸ है।
10 की घातों से अनुमान और मात्रक उपसर्ग
अनुमान के लिए संख्या को एक अंक × 10 की घात तक गोल कीजिए, फिर तुलना कीजिए। एक शहर में लगभग 2 × 10⁷ लोग हैं और एक गाँव में 4 × 10³। शहर में लगभग (2 × 10⁷) ÷ (4 × 10³) = 0.5 × 10⁴ = 5000 गुना ज़्यादा लोग हैं।
परिमाण की कोटि (order of magnitude) संख्या के सबसे पास की 10 की घात है। 3 × 10⁸ की कोटि 10⁸ है।
SI उपसर्ग 10 की घातों के नाम हैं:
- गीगा (G) = 10⁹, मेगा (M) = 10⁶, किलो (k) = 10³
- सेंटी (c) = 10⁻², मिली (m) = 10⁻³, माइक्रो (µ) = 10⁻⁶, नैनो (n) = 10⁻⁹
तो 5 km = 5 × 10³ m, 3 mg = 3 × 10⁻³ g, 20 nm = 2 × 10⁻⁸ m।
करके देखें: दुनिया को 10 की घातों में लिखिए
3D के खुले खेल में आगे की संख्या और घात चुनिए। नारंगी निशान परमाणु (लगभग 10⁻¹⁰ m) से सूर्य (लगभग 10⁹ m) तक की सीढ़ी पर चलता है। स्लाइडर खिसकाने से पहले अनुमान लगाइए कि कौन-सी चीज़ आएगी। फिर जाँचिए।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- वैज्ञानिक संकेतन: a × 10ⁿ, जहाँ 1 ≤ a < 10 और n पूर्णांक
- बड़ी संख्या → दशमलव बाएँ → n धनात्मक
- छोटी संख्या → दशमलव दाएँ → n ऋणात्मक
- गुणा: (a × 10ᵐ)(b × 10ⁿ) = ab × 10ᵐ⁺ⁿ
- भाग: (a × 10ᵐ) ÷ (b × 10ⁿ) = (a ÷ b) × 10ᵐ⁻ⁿ
- उपसर्ग: G 10⁹, M 10⁶, k 10³, c 10⁻², m 10⁻³, µ 10⁻⁶, n 10⁻⁹
हल किए गए उदाहरण
1. 72 000 को वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए।
दशमलव 7 के बाद: 7.2। वह 4 स्थान बाएँ खिसका। उत्तर: 7.2 × 10⁴।
2. 0.0006 को वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए।
दशमलव 6 के बाद तक दाईं ओर 4 स्थान खिसका, इसलिए n = −4। उत्तर: 6 × 10⁻⁴।
3. 3.05 × 10⁻³ को सामान्य रूप में लिखिए।
ऋणात्मक घात: दशमलव 3 स्थान बाएँ। 3.05 → 0.00305।
4. (6 × 10⁵) × (3 × 10⁻²) ज्ञात कीजिए।
6 × 3 = 18। घातें: 5 + (−2) = 3। 18 × 10³ = 1.8 × 10⁴।
5. (4.8 × 10⁶) ÷ (1.6 × 10⁻²) ज्ञात कीजिए।
4.8 ÷ 1.6 = 3। घातें: 6 − (−2) = 8। उत्तर: 3 × 10⁸।
6. प्रकाश की चाल 3 × 10⁸ m/s है और सूर्य 1.5 × 10¹¹ m दूर है। सूर्य की रोशनी पृथ्वी तक कितने समय में आती है?
समय = दूरी ÷ चाल = (1.5 × 10¹¹) ÷ (3 × 10⁸) = 0.5 × 10³ = 500 s, यानी 8 मिनट से थोड़ा ज़्यादा।
7. एक कोशिका 2 × 10⁻⁵ m चौड़ी है। 1 cm (10⁻² m) में कितनी कोशिकाएँ एक कतार में आएँगी?
10⁻² ÷ (2 × 10⁻⁵) = 0.5 × 10³ = 500 कोशिकाएँ।
आम गलतियाँ
- आगे की संख्या 1 से 10 के बाहर छोड़ देना, जैसे 45 × 10³। सही: 4.5 × 10⁴।
- छोटी संख्या को धनात्मक घात देना। 0.003 = 3 × 10⁻³ है, 3 × 10³ नहीं।
- गुणा में घातें जोड़ने की जगह गुणा कर देना। 10³ × 10⁵ = 10⁸, 10¹⁵ नहीं।
- अलग-अलग घात वाली संख्याएँ सीधे जोड़ देना। 2 × 10³ + 3 × 10⁴ = 0.2 × 10⁴ + 3 × 10⁴ = 3.2 × 10⁴।