अपरिमेय संख्या क्या है?
अपरिमेय संख्या (irrational number) वह है जिसे p/q (p, q पूर्णांक, q ≠ 0) के रूप में नहीं लिख सकते।
इसका दशमलव कभी खत्म नहीं होता और कोई हिस्सा दोहराता नहीं। जैसे √2 = 1.41421356…, √3 = 1.7320508…, π = 3.14159265…, और 0.101001000100001… (शून्य बढ़ते जाते हैं, कोई हिस्सा दोहराता नहीं)।
ध्यान दो: हर वर्गमूल अपरिमेय नहीं है। √4 = 2, √9 = 3 परिमेय हैं। पूर्ण वर्ग न हो तो ही √n अपरिमेय है।
√2 को संख्या रेखा पर दिखाना
संख्या रेखा पर 0 से 1 पर 1 भुजा वाला वर्ग बनाओ। पाइथागोरस से विकर्ण = √(1² + 1²) = √2।
परकार की नोक 0 पर रखो, विकर्ण के दूसरे सिरे तक खोलो और रेखा पर चाप लगाओ। वह निशान ठीक √2 है, 1.41 और 1.42 के बीच।
√3 के लिए: √2 वाले बिंदु पर 1 लंबाई की लंब रेखा खींचो। नया कर्ण √(2 + 1) = √3। इसे भी वैसे ही रेखा पर उतारो।
√2 अपरिमेय है: उपपत्ति
हम विरोधाभास से उपपत्ति करते हैं: उल्टी बात मानो और दिखाओ कि वह गलत नतीजे पर ले जाती है।
- मानो √2 = p/q, जहाँ p और q का कोई साझा गुणनखंड नहीं (सरलतम रूप)।
- वर्ग करो: 2 = p²/q², तो p² = 2q²। यानी p² सम है।
- अगर p विषम होता तो p² भी विषम होता (विषम × विषम = विषम)। तो p सम है। p = 2c लिखो।
- तब 4c² = 2q², यानी q² = 2c²। तो q² सम है, और q भी सम।
- विरोधाभास: p और q दोनों में 2 है, पर हमने माना था कोई साझा गुणनखंड नहीं!
इसलिए हमारा मानना गलत था: √2 अपरिमेय है।
√3 अपरिमेय है: उपपत्ति
- मानो √3 = p/q (सरलतम रूप)।
- वर्ग करो: p² = 3q²। तो 3, p² को विभाजित करता है।
- 3 अभाज्य है, इसलिए 3, p को भी विभाजित करेगा। (जो संख्या 3 का गुणज नहीं, उसे 3 से भाग देने पर शेष 1 या 2 आता है; उसके वर्ग का शेष 1 आता है, कभी 0 नहीं।) p = 3c लिखो।
- 9c² = 3q², यानी q² = 3c²। तो 3, q को भी विभाजित करता है।
- 3 दोनों में है: सरलतम रूप वाली बात से विरोधाभास।
इसलिए √3 अपरिमेय है। यही तरीका √5, √7 पर भी चलता है।
वर्गमूल सर्पिल
एक बिंदु O लो। OA = 1 खींचो, और A पर समकोण पर AB = 1। तो OB = √2।
B पर OB के समकोण पर BC = 1 खींचो। OC = √(2 + 1) = √3। C पर CD = 1: OD = √4 = 2। ऐसे ही आगे बढ़ो।
हर नया कर्ण इस नियम से बनता है: (√n)² + 1² = n + 1। त्रिभुज घूमते हुए घोंघे जैसा आकार बनाते हैं: यही वर्गमूल सर्पिल है। इसमें √2, √3, √5 … असली लंबाइयों की तरह दिखते हैं, भले उनके दशमलव कभी खत्म न हों।
वास्तविक संख्याएँ और आवर्ती (चक्रीय) दशमलव
वास्तविक संख्याएँ = सभी परिमेय + सभी अपरिमेय। संख्या रेखा का हर बिंदु एक वास्तविक संख्या है।
- सांत दशमलव (0.375) → परिमेय।
- असांत आवर्ती (0.4747…) → परिमेय।
- असांत अनावर्ती (1.4142…) → अपरिमेय।
आवर्ती दशमलव को p/q बनाना: x = 0.4747… । 2 अंक दोहरा रहे हैं, तो 100 से गुणा: 100x = 47.4747… । घटाओ: 99x = 47, x = 47/99।
1/7 = 0.142857 को चक्रीय दशमलव कहते हैं: 2/7, 3/7 … 6/7 में वही छह अंक उसी घेरे में आते हैं, बस शुरुआत अलग जगह से (2/7 = 0.285714…)।
और: परिमेय + अपरिमेय = अपरिमेय (2 + √3); शून्येतर परिमेय × अपरिमेय = अपरिमेय (5√2)। पर दो अपरिमेय का योग परिमेय हो सकता है: √2 + (−√2) = 0।
करके देखो: वर्गमूल सर्पिल बनाओ
कागज़, पैमाना, सेट-स्क्वेयर (या कॉपी का कोना) और पेंसिल लो। 1 इकाई = 2 cm।
- OA = 2 cm खींचो। A पर समकोण पर AB = 2 cm। OB मिलाओ।
- B पर OB के समकोण पर BC = 2 cm। OC मिलाओ।
- 8 बार दोहराओ। OB, OC, OD … नापो और 2 से भाग दो। क्या लगभग 1.41, 1.73, 2, 2.24 आता है?
पहले अंदाज़ा, फिर जाँच: कौन-से कर्ण पूर्ण संख्या होंगे? 3D के आखिरी कदम में स्लाइडर से जाँचो। (सिर्फ √4, √9, √16, √25।)
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- अपरिमेय: p/q नहीं लिख सकते; दशमलव न खत्म, न दोहराए
- 1 भुजा वाले वर्ग का विकर्ण = √(1² + 1²) = √2
- सर्पिल नियम: (√n)² + 1² = (√(n + 1))²
- अभाज्य p, a² को विभाजित करे ⇒ p, a को विभाजित करता है
- 0.abab… = ab/99; 0.aaa… = a/9
- वास्तविक संख्याएँ = परिमेय + अपरिमेय
हल किए गए उदाहरण
1. परिमेय या अपरिमेय बताओ: √25, √12, 0.3333…, 7.070070007…
√25 = 5, परिमेय। √12: 12 पूर्ण वर्ग नहीं, अपरिमेय। 0.3333… दोहराता है, परिमेय (= 1/3)। 7.070070007…: शून्य बढ़ते जाते हैं, कुछ नहीं दोहराता, अपरिमेय।
2. √3 को संख्या रेखा पर दिखाओ।
कदम 1: 0 से 1 पर इकाई वर्ग बनाओ; विकर्ण OB = √2। कदम 2: OB को घुमाकर √2 का निशान लगाओ। कदम 3: √2 पर 1 लंबाई की लंब रेखा खींचो। कदम 4: 0 को उसके सिरे से मिलाओ: लंबाई √(2 + 1) = √3। कदम 5: परकार से इसे रेखा पर उतारो। √3 ≈ 1.732।
3. सिद्ध करो कि √5 अपरिमेय है।
मानो √5 = p/q (सरलतम)। वर्ग: p² = 5q², तो 5 | p²। 5 अभाज्य है, तो 5 | p; p = 5c। 25c² = 5q², यानी q² = 5c², तो 5 | q। 5 दोनों में, विरोधाभास। इसलिए √5 अपरिमेय है।
4. 0.6666… को p/q में लिखो।
x = 0.6666… । एक अंक दोहरा रहा है, 10 से गुणा: 10x = 6.6666… । घटाओ: 9x = 6, x = 6/9 = 2/3।
5. 0.4747… को p/q में लिखो।
x = 0.4747… । दो अंक दोहरा रहे हैं, 100 से गुणा: 100x = 47.4747… । घटाओ: 99x = 47, x = 47/99।
6. 0.2353535… (सिर्फ 35 दोहराता है) को p/q में लिखो।
x = 0.2353535… । पहले न दोहराने वाला 2 बिंदु के पार करो: 10x = 2.353535… । फिर 1000x = 235.353535… । घटाओ: 990x = 233, x = 233/990।
7. क्या 0.9999… = 1?
x = 0.9999… तो 10x = 9.9999… । घटाओ: 9x = 9, x = 1। हाँ, दोनों एक ही वास्तविक संख्या हैं।
8. 1/7 और 2/7 के बीच एक अपरिमेय संख्या बताओ।
1/7 = 0.142857… और 2/7 = 0.285714… । बीच का ऐसा दशमलव चुनो जो न खत्म हो न दोहराए, जैसे 0.150150015000150000… ।
आम गलतियाँ
- यह कहना कि हर वर्गमूल अपरिमेय है। √16 = 4 और √(4/9) = 2/3 परिमेय हैं।
- 22/7 या 3.14 को π के बराबर मानना। ये सिर्फ पास हैं; π अपरिमेय है, 22/7 परिमेय।
- उपपत्ति में यह लिखना भूल जाना कि p और q का कोई साझा गुणनखंड नहीं। इसके बिना विरोधाभास नहीं बनता।
- दो अंक दोहरा रहे हों तब भी 10 से गुणा करना। 0.4747… के लिए 100x चाहिए।