Ukraine 8 клас Algebra
अध्याय: 5
1. Algebraic expressions
Rational expressions · Basic property of a rational fraction · Operations on rational fractions · Powers with integer exponents · Square roots · Quadratic trinomial
- घातांक के नियम – घातांक बताता है कि आधार को कितनी बार खुद से गुणा किया गया। एक ही आधार हो तो: गुणा → घातांक जोड़ें, भाग → घटाएँ, घात की घात → गुणा करें। a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ और a^(1/n) = n-वाँ मूल।
- वर्गमूल: वर्ग बनाओ, उसकी भुजा खोजो – किसी संख्या n का वर्गमूल वह संख्या है जिसे खुद से गुणा करने पर n मिले। √25 = 5, क्योंकि 5 × 5 = 25। n टाइलों को वर्ग में जमाओ: भुजा ही वर्गमूल है। पूर्ण वर्ग (1, 4, 9, 16, …) के वर्गमूल पूर्ण संख्याएँ हैं। बाकी वर्गमूल अपरिमेय होते हैं और दो पूर्ण संख्याओं के बीच आते हैं; उनका अनुमान लगाते हैं या उन्हें सरल करते हैं, जैसे √50 = 5√2।
- द्विघात समीकरण – जिस समीकरण में x की सबसे बड़ी घात 2 हो, वह द्विघात समीकरण है: ax² + bx + c = 0, जहाँ a ≠ 0। इसके ज़्यादा से ज़्यादा दो मूल होते हैं। मूल निकालने के दो तरीक़े: गुणनखंड (मध्य पद को तोड़कर) या सूत्र x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a। विविक्तकर D = b² − 4ac बताता है: D > 0 तो दो अलग वास्तविक मूल, D = 0 तो दो बराबर मूल, D < 0 तो कोई वास्तविक मूल नहीं।
2. Numbers
Sets and subsets · Rational, irrational and real numbers
- अपरिमेय संख्याएँ: √2, √3, वर्गमूल सर्पिल और वास्तविक संख्याएँ – अपरिमेय संख्या को p/q के रूप में नहीं लिख सकते। इसका दशमलव न कभी खत्म होता है, न दोहराता है, जैसे √2 = 1.41421356… या π। फिर भी √2 को संख्या रेखा पर ठीक-ठीक दिखा सकते हैं: यह 1 भुजा वाले वर्ग का विकर्ण है। √2 और √3 अपरिमेय हैं, यह हम मानकर सिद्ध करते हैं कि वे सरलतम भिन्न हैं और फिर विरोधाभास पाते हैं। वर्गमूल सर्पिल एक-एक समकोण त्रिभुज जोड़कर √2, √3, √4, √5 … बनाता है। परिमेय और अपरिमेय मिलकर वास्तविक संख्याएँ बनाते हैं; हर आवर्ती दशमलव को वापस p/q में बदल सकते हैं।
3. Equations
Equivalent and rational equations · Quadratic equations · Vieta's theorem · Equations reducible to quadratic
- भिन्नात्मक (परिमेय) समीकरण – भिन्नात्मक या परिमेय समीकरण में अज्ञात x किसी भिन्न के हर में होता है। पहले वे मान लिखिए जिनसे कोई हर शून्य हो जाए: ये मना हैं। फिर हर पद को सबसे छोटे सार्व हर (LCM) से गुणा करके भिन्न हटाइए और बचे समीकरण को हल कीजिए (अक्सर रैखिक या द्विघात)। अंत में हर मूल जाँचिए: जो मूल मना मान हो, वह बाहरी मूल है और हटा दिया जाता है। नाव-धारा और मिलकर काम करने जैसे दर वाले प्रश्न भी इसी तरह हल होते हैं।
- द्विघात समीकरण – जिस समीकरण में x की सबसे बड़ी घात 2 हो, वह द्विघात समीकरण है: ax² + bx + c = 0, जहाँ a ≠ 0। इसके ज़्यादा से ज़्यादा दो मूल होते हैं। मूल निकालने के दो तरीक़े: गुणनखंड (मध्य पद को तोड़कर) या सूत्र x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a। विविक्तकर D = b² − 4ac बताता है: D > 0 तो दो अलग वास्तविक मूल, D = 0 तो दो बराबर मूल, D < 0 तो कोई वास्तविक मूल नहीं।
4. Functions
Functions y=k/x, y=x² and y=√x · Graphical solving of equations and systems
- व्युत्क्रम विचरण (प्रतिलोम समानुपात) – दो राशियाँ व्युत्क्रम रूप से बदलती हैं जब उनका गुणनफल वही रहता है: x × y = k, यानी y = k/x। x दोगुना हो तो y आधा हो जाता है। y = k/x (k > 0) का ग्राफ़ एक वक्र है जिसे अतिपरवलय (hyperbola) कहते हैं; यह दोनों अक्षों के पास जाता है पर उन्हें कभी नहीं छूता।
- दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म – a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂ जैसे दो समीकरण दो सीधी रेखाएँ बनाते हैं। जो (x, y) दोनों को सही करे, वह इन रेखाओं का मिलने का बिंदु है। रेखाएँ काटें तो एक हल, समांतर हों तो कोई हल नहीं, और एक-दूसरे पर पड़ी हों तो अनंत हल। हल ग्राफ से, प्रतिस्थापन से या विलोपन से निकालते हैं।
5. Mathematical tasks and real-world processes
Standard form of a number · Models with rational equations and functions · Story and competence problems
- गणितीय निदर्शन: गणित से असली दुनिया को समझना – गणितीय मॉडल (mathematical model) एक समीकरण, ग्राफ़ या तालिका है जो किसी असली स्थिति को सरल तरीके से बताती है। मॉडलिंग चक्र: असली समस्या समझो → चर चुनो और मान्यताएँ बनाओ → मॉडल बनाओ (जैसे रैखिक, द्विघात या चरघातांकी) → हल करो और अनुमान लगाओ → असली आँकड़ों से जाँचो → मॉडल सुधारो या उसकी सीमा बताओ। कोई मॉडल पूरी तरह सही नहीं होता; अच्छा मॉडल सरल होता है और काम लायक सही होता है।
- प्रतिशत – प्रतिशत का अर्थ है "100 में से", इसलिए x% = x/100। किसी राशि का x% निकालने के लिए उसे x/100 से गुणा करें। प्रतिशत परिवर्तन = (परिवर्तन ÷ मूल) × 100। r% बढ़ाने के लिए (1 + r/100) से, r% घटाने के लिए (1 − r/100) से गुणा करें। क्रमागत परिवर्तनों में गुणकों को गुणा करते हैं। उल्टे प्रतिशत में नए मान को गुणक से भाग देते हैं।