वर्गमूल क्या है?
वर्ग करना मतलब संख्या को खुद से गुणा करना: 6² = 36। वर्गमूल इसका उल्टा है: √36 = 6।
√ चिह्न को करणी चिह्न (radical sign) कहते हैं; इसके नीचे की संख्या करणीगत संख्या है।
6 × 6 और (−6) × (−6) दोनों 36 देते हैं। तो 36 के दो वर्गमूल हैं, +6 और −6। पर √36 का मतलब सिर्फ़ धनात्मक वाला है। x² = 36 हल करने पर x = ±6 लिखते हैं।
ऋणात्मक संख्या का वास्तविक वर्गमूल नहीं होता, क्योंकि कोई भी वास्तविक संख्या खुद से गुणा होकर ऋणात्मक नहीं बनती।
पूर्ण वर्ग और उन्हें पहचानना
पूर्ण वर्ग: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … 15² = 225 तक याद करो।
- पूर्ण वर्ग के अंत में कभी 2, 3, 7 या 8 नहीं आता।
- अभाज्य गुणनखंड में हर अभाज्य सम बार आता है। 144 = 2⁴ × 3², तो √144 = 2² × 3 = 12।
भिन्न और दशमलव के वर्गमूल
√(9/16) = 3/4। √0.49 = 0.7 क्योंकि 0.7 × 0.7 = 0.49।
अपूर्ण वर्ग के वर्गमूल का अनुमान
दोनों तरफ़ के पूर्ण वर्ग खोजो। √40 के लिए: 36 < 40 < 49, तो 6 < √40 < 7। 40, 36 के पास है, तो लगभग 6.3।
वर्ग करके जाँचो: 6.3² = 39.69, 6.4² = 40.96। तो √40 ≈ 6.32।
√2, √3, √20 जैसे वर्गमूल अपरिमेय हैं: दशमलव न खत्म होता है, न दोहराता है। और √(x²) = |x|।
वर्गमूल के नियम और सरलीकरण (करणी)
- √(a × b) = √a × √b
- √(a ÷ b) = √a ÷ √b
- पर √(a + b) ≠ √a + √b। √(9 + 16) = 5, 7 नहीं।
सरल करने के लिए सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालो: √72 = √36 × √2 = 6√2।
समान करणियाँ जुड़ती हैं: 3√2 + 5√2 = 8√2। √2 + √3 वैसे ही रहता है।
घनमूल
∛64 = 4 क्योंकि 4 × 4 × 4 = 64। ऋणात्मक का घनमूल होता है: ∛(−8) = −2।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- √n = s मतलब s × s = n और s ≥ 0
- x² = n → x = ±√n
- √(ab) = √a · √b
- √(a/b) = √a / √b
- √(a + b) ≠ √a + √b
- √(x²) = |x|
- ∛n = c मतलब c³ = n
हल किए गए उदाहरण
1. √196 ज्ञात करो।
196 = 2² × 7²। √196 = 2 × 7 = 14। जाँच: 14 × 14 = 196।
2. √75 किन दो पूर्ण संख्याओं के बीच है?
64 < 75 < 81, तो 8 < √75 < 9।
3. √30 का एक दशमलव स्थान तक अनुमान लगाओ।
25 < 30 < 36 → 5 और 6 के बीच। 5.4² = 29.16, 5.5² = 30.25। 30, 30.25 के ज़्यादा पास है, तो √30 ≈ 5.5।
4. √48 सरल करो।
48 = 16 × 3। √48 = 4√3।
5. 2√18 + √50 सरल करो।
2√18 = 6√2, √50 = 5√2। कुल = 11√2।
6. एक वर्गाकार फ़र्श का क्षेत्रफल 12.25 m² है। भुजा?
भुजा = √12.25 = 3.5 m, क्योंकि 3.5 × 3.5 = 12.25।
आम गलतियाँ
- √(9 + 16) = 3 + 4 = 7 लिखना। पहले जोड़ो: √25 = 5।
- x² = 49 में ± भूलना: x = 7 या −7।
- √(−9) = −3 मानना। (−3)² = 9 होता है; वास्तविक उत्तर नहीं है।
- अधूरा सरल करना: √72 = 2√18 खत्म नहीं; उत्तर 6√2 है।