Poland Szkoła podstawowa, klasa VII Mathematics

अध्याय: 7

1. Powers with rational bases

Powers with natural exponents · Scientific notation

घातांक के नियम – घातांक बताता है कि आधार को कितनी बार खुद से गुणा किया गया। एक ही आधार हो तो: गुणा → घातांक जोड़ें, भाग → घटाएँ, घात की घात → गुणा करें। a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ और a^(1/n) = n-वाँ मूल।
वैज्ञानिक संकेतन (मानक रूप) – वैज्ञानिक संकेतन में हर संख्या को a × 10ⁿ लिखते हैं, जहाँ 1 ≤ a < 10 और n एक पूर्णांक है। बड़ी संख्या में दशमलव बाईं ओर खिसकता है और n धनात्मक होता है। छोटी संख्या में दशमलव दाईं ओर खिसकता है और n ऋणात्मक होता है। गुणा करने के लिए आगे की संख्याएँ गुणा करें और घातें जोड़ें; भाग में आगे की संख्याएँ भाग दें और घातें घटाएँ; फिर a को 1 और 10 के बीच कर दें। किलो (10³), मेगा (10⁶), मिली (10⁻³), माइक्रो (10⁻⁶), नैनो (10⁻⁹) जैसे उपसर्ग 10 की घातों के ही नाम हैं।

2. Roots

Square and cube roots · Operations on roots

वर्गमूल: वर्ग बनाओ, उसकी भुजा खोजो – किसी संख्या n का वर्गमूल वह संख्या है जिसे खुद से गुणा करने पर n मिले। √25 = 5, क्योंकि 5 × 5 = 25। n टाइलों को वर्ग में जमाओ: भुजा ही वर्गमूल है। पूर्ण वर्ग (1, 4, 9, 16, …) के वर्गमूल पूर्ण संख्याएँ हैं। बाकी वर्गमूल अपरिमेय होते हैं और दो पूर्ण संख्याओं के बीच आते हैं; उनका अनुमान लगाते हैं या उन्हें सरल करते हैं, जैसे √50 = 5√2।

3. Building algebraic expressions

Expressions with one or more variables

बीजीय व्यंजक: चर, पद और सरलीकरण – बीजीय व्यंजक में अक्षर (चर) और संख्याएँ +, −, × और ÷ से जुड़े होते हैं, जैसे 3x + 2। चर एक ऐसी संख्या के लिए खड़ा है जो बदल सकती है। व्यंजक पदों से बनता है (3x और 2)। 3x में 3 गुणांक है; बिना अक्षर वाला पद, जैसे 2, अचर पद है। समान पदों का अक्षर वाला भाग बिल्कुल एक जैसा होता है (3x और 5x) और वे जुड़ सकते हैं; असमान पद (3x और 2, या x और x²) नहीं जुड़ते। प्रतिस्थापन यानी अक्षर की जगह संख्या रखकर मान निकालना। विस्तार कोष्ठक हटाता है: a(b + c) = ab + ac। गुणनखंडन उल्टा है: उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालना। सूत्र एक व्यंजक है जो दूसरी राशियों से एक राशि देता है, और सर्वसमिका अक्षर के हर मान पर सही होती है।

4. Transforming expressions: algebraic sums

Monomials and algebraic sums

बहुपदों का गुणन – बहुपदों का गुणा करने के लिए पहले के हर पद को दूसरे के हर पद से गुणा करो (बंटन नियम), फिर समान पद जोड़ो। गुणांक आपस में गुणा होते हैं; एक ही अक्षर की घातें जुड़ती हैं (x² · x³ = x⁵)। टाइलों का आयत हर गुणनफल दिखाता है: (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6। बहुपद को एकपदी से भाग देने के लिए हर पद को अलग-अलग भाग दो।

5. Percentage calculations

Percentages

प्रतिशत – प्रतिशत का अर्थ है "100 में से", इसलिए x% = x/100। किसी राशि का x% निकालने के लिए उसे x/100 से गुणा करें। प्रतिशत परिवर्तन = (परिवर्तन ÷ मूल) × 100। r% बढ़ाने के लिए (1 + r/100) से, r% घटाने के लिए (1 − r/100) से गुणा करें। क्रमागत परिवर्तनों में गुणकों को गुणा करते हैं। उल्टे प्रतिशत में नए मान को गुणक से भाग देते हैं।

6. Equations in one unknown

Solving linear equations · Applying equations

एक चर वाले रैखिक समीकरण – एक चर वाले रैखिक समीकरण में एक ही अज्ञात राशि (जैसे x) होती है और उसकी घात 1 होती है, जैसे 2x + 3 = 11। समीकरण एक तराज़ू जैसा है: दोनों पक्ष बराबर हैं। हल करने के लिए दोनों पक्षों पर एक जैसा काम करो (एक ही संख्या जोड़ो, घटाओ, गुणा करो या शून्य के अलावा किसी संख्या से भाग दो), जब तक x अकेला न रह जाए। आख़िर में उत्तर वापस रखकर जाँच ज़रूर करो।

7. Direct proportion

Directly proportional quantities

अनुपात और समानुपात – अनुपात a : b एक ही तरह की दो मात्राओं की तुलना है। दोनों भागों को एक ही संख्या से भाग देकर अनुपात सरल करते हैं। किसी राशि को अनुपात में बाँटने के लिए भाग जोड़ो, एक भाग निकालो, फिर गुणा करो। y = k·x हो तो प्रत्यक्ष समानुपात (एक दोगुना, दूसरा दोगुना); x·y = k हो तो व्युत्क्रम समानुपात (एक दोगुना, दूसरा आधा)।