अनुपात क्या है?
अनुपात एक ही तरह की दो (या अधिक) मात्राओं की तुलना है। 2 लाल और 3 नीले को 2 : 3 लिखते हैं ("2 अनुपात 3")। क्रम ज़रूरी है: लाल : नीला = 2 : 3, पर नीला : लाल = 3 : 2।
दोनों भाग एक ही इकाई में हों। 50 cm : 2 m = 50 cm : 200 cm = 1 : 4।
सरल करना और तुल्य अनुपात
दोनों को महत्तम समापवर्तक (HCF) से भाग दो: 12 : 18 → ÷6 → 2 : 3। दोनों को एक ही संख्या से गुणा करने पर तुल्य अनुपात मिलता है: 2 : 3 = 4 : 6 = 10 : 15।
2 : 3 में लाल कुल का 2/5 और नीला 3/5 है।
किसी राशि को दिए अनुपात में बाँटना
30 को 2 : 3 में बाँटो:
- भाग जोड़ो: 2 + 3 = 5।
- एक भाग = 30 ÷ 5 = 6।
- गुणा: 2 × 6 = 12 और 3 × 6 = 18। जाँच: 12 + 18 = 30।
कुल की जगह एक हिस्सा पता हो, तो उसी से एक भाग निकालो। 2 : 3 में लाल 14 है, तो एक भाग 7, नीला 21।
समानुपात और प्रत्यक्ष समानुपात
समानुपात का मतलब दो अनुपात बराबर हैं: a : b = c : d या a/b = c/d। अज्ञात मान के लिए तिरछा गुणा करो: 3/4 = x/20 → 4x = 60 → x = 15।
दो राशियाँ प्रत्यक्ष समानुपात में हैं अगर उनका अनुपात न बदले: y = k·x। ग्राफ़ मूल बिंदु से जाती सीधी रेखा है। k इकाई दर है (1 kg का दाम, km प्रति लीटर)।
ऐकिक नियम
5 पेन ₹60 → 1 पेन ₹12 → 8 पेन ₹96।
पैमाना और माप
पैमाना 1 : 200 यानी असली लंबाई = 200 × चित्र की लंबाई। नक्शे पर 3.5 cm → 700 cm = 7 m। क्षेत्रफल वर्ग से बदलता है: लंबाई 1 : 200 तो क्षेत्रफल 1 : 40 000।
व्युत्क्रम समानुपात
दो राशियाँ व्युत्क्रम समानुपात में हैं अगर उनका गुणनफल न बदले: x·y = k, यानी y = k/x। x दोगुना तो y आधा। ग्राफ़ वक्र (अतिपरवलय) है, सीधी रेखा नहीं।
उदाहरण: 6 नल टंकी 8 घंटे में भरते हैं (k = 48 नल-घंटे)। 4 नल लेंगे 48 ÷ 4 = 12 घंटे।
जाँच: y/x स्थिर → प्रत्यक्ष। x·y स्थिर → व्युत्क्रम। दोनों नहीं → समानुपाती नहीं।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- a : b = (a ÷ h) : (b ÷ h), h = HCF
- Share of A = total × a ÷ (a + b)
- a/b = c/d ⇔ a·d = b·c
- Direct: y = k·x (y/x constant)
- Inverse: x·y = k (y = k/x)
हल किए गए उदाहरण
1. 45 : 60 को सरल करो।
HCF = 15। 3 : 4।
2. 1.5 kg : 600 g को सरलतम रूप में लिखो।
एक इकाई: 1500 g : 600 g। ÷300 → 5 : 2।
3. ₹840 को आशा और बेन में 3 : 4 में बाँटो।
3 + 4 = 7 भाग। एक भाग = ₹120। आशा ₹360, बेन ₹480।
4. x : 12 = 5 : 8 हल करो।
x/12 = 5/8 → 8x = 60 → x = 7.5।
5. एक कार 90 km में 6 L ईंधन लेती है। 10 L में कितनी दूर?
प्रत्यक्ष। इकाई दर 90 ÷ 6 = 15 km/L। 10 × 15 = 150 km।
6. 4 मशीनें एक काम 15 घंटे में करती हैं। 6 मशीनें कितने घंटे?
व्युत्क्रम: 4 × 15 = 60 मशीन-घंटे। 60 ÷ 6 = 10 घंटे।
7. नक्शे का पैमाना 1 : 50। कमरा नक्शे पर 9 cm × 7 cm है। असली क्षेत्रफल m² में?
असली भुजाएँ 4.5 m और 3.5 m। क्षेत्रफल = 15.75 m²।
आम गलतियाँ
- इकाई मिलाना भूलना: 30 cm : 1 m, 30 : 1 नहीं, 30 : 100 = 3 : 10 है।
- कुल को भागों के योग की जगह एक भाग से भाग देना।
- क्रम उलट देना: लड़के : लड़कियाँ, लड़कियाँ : लड़के नहीं है।
- हर "दोनों बढ़ते हैं" को प्रत्यक्ष मान लेना: जाँचो कि y/x स्थिर है।