परिमेय संख्या क्या है?
परिमेय संख्या (rational number) वह है जिसे p/q लिख सकें। यहाँ p और q पूर्णांक (integers) हैं, यानी 0, 1, 2… और −1, −2… । और q शून्य नहीं होना चाहिए।
- 3/4, −5/3 और 22/7 परिमेय हैं।
- हर पूर्णांक परिमेय है: 7 = 7/1, −2 = −2/1, 0 = 0/1।
- 0.25 भी परिमेय है, क्योंकि 0.25 = 1/4।
एक ही संख्या के कई रूप होते हैं: 1/2 = 2/4 = 50/100। सबसे सरल रूप वह है जिसमें p और q का कोई साझा गुणनखंड न हो।
संख्या रेखा पर परिमेय संख्या
बस दो काम करो: काटो और चलो।
- काटो: हर इकाई (0 से 1, 1 से 2 …) को q बराबर भागों में बाँटो।
- चलो: 0 से शुरू करके p भाग चलो। संख्या धनात्मक हो तो दाईं ओर, ऋणात्मक हो तो बाईं ओर।
उदाहरण: 7/3। इकाई के 3 भाग करो, 7 भाग दाईं ओर चलो। तुम 2 1/3 पर पहुँचोगे (2 के थोड़ा आगे)।
सघनता: किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच एक और
दावा: किन्हीं दो अलग परिमेय संख्याओं a और b के बीच एक और परिमेय संख्या होती है।
उपपत्ति (proof): मान लो a < b। इनका औसत m = (a + b)/2 लो।
- a और b भिन्न हैं, तो a + b भी भिन्न है, और उसका आधा भी भिन्न है। यानी m परिमेय है।
- m − a = (b − a)/2, जो 0 से बड़ा है। तो m, a से बड़ा है।
- b − m = (b − a)/2, यह भी 0 से बड़ा है। तो m, b से छोटा है।
इसलिए m, a और b के बीच है। अब a और m का औसत लो, फिर से… ऐसा अनंत बार कर सकते हैं। तो बीच में अनगिनत परिमेय संख्याएँ हैं। इसे परिमेय संख्याओं की सघनता (density) कहते हैं।
एक साथ कई परिमेय संख्याएँ ढूँढना
3/5 और 4/5 के बीच 5 संख्याएँ चाहिए? अंश और हर दोनों को 6 (यानी 5 + 1) से गुणा करो: 3/5 = 18/30 और 4/5 = 24/30। अब 19/30, 20/30, 21/30, 22/30, 23/30 बीच में हैं।
नियम: n संख्याएँ चाहिए तो n + 1 से गुणा करो।
दशमलव में भी आसान है: 0.3 और 0.4 के बीच 0.31, 0.32, 0.35, 0.399 …
दशमलव प्रसार: सांत या आवर्ती
p को q से लंबा भाग (long division) करो। सिर्फ दो बातें हो सकती हैं।
- शेषफल 0 हो जाए। तब दशमलव खत्म हो जाता है। इसे सांत (terminating) दशमलव कहते हैं। जैसे 3/8 = 0.375।
- शेषफल कभी 0 न हो। q से भाग देने पर शेषफल सिर्फ 1, 2, …, q − 1 हो सकता है। तो ज़्यादा से ज़्यादा q − 1 कदमों में कोई शेषफल दोबारा आएगा, और वही अंक फिर से आने लगेंगे। इसे असांत आवर्ती (non-terminating recurring) दशमलव कहते हैं। जैसे 1/7 = 0.142857142857… = 0.142857।
जल्दी पहचान: भिन्न को सरलतम रूप में लाओ। अगर हर में सिर्फ 2 और 5 गुणनखंड हों (जैसे 8, 20, 25), तो दशमलव खत्म होगा। वरना दोहराएगा।
उल्टा भी सच है: हर सांत या आवर्ती दशमलव परिमेय संख्या है।
करके देखो: अपनी संख्या रेखा
कागज़ की एक पट्टी लो। पैमाने से 0 और 1 को 12 cm दूर लगाओ। मोड़कर 1/2 निकालो, फिर मोड़कर 1/4 और 3/4। हर 4 cm पर 1/3 है। 1/3 और 1/4 में कौन बड़ा है? फिर 3D के आखिरी कदम में p = 1, q = 3 और p = 1, q = 4 करके जाँचो।
पहले अंदाज़ा, फिर जाँच: स्लाइडर चलाने से पहले सोचो, 5/12 का दशमलव खत्म होगा या दोहराएगा? (12 = 2×2×3, इसमें 3 है, तो दोहराएगा।)
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- परिमेय संख्या = p/q, p और q पूर्णांक, q ≠ 0
- a और b के बीच: (a + b)/2 परिमेय है और बीच में है
- n संख्याएँ चाहिए: अंश और हर को (n + 1) से गुणा करो
- सरलतम रूप के हर में सिर्फ 2 और 5 ⇒ सांत दशमलव
- वरना ⇒ असांत आवर्ती (दोहराने वाले भाग में ज़्यादा से ज़्यादा q − 1 अंक)
हल किए गए उदाहरण
1. 5/4 को संख्या रेखा पर दिखाओ।
कदम 1 (काटो): हर इकाई के 4 भाग करो। कदम 2 (चलो): 0 से दाईं ओर 5 भाग चलो। 4 भाग में 1 आ गया, एक भाग और आगे। तो 5/4 = 1 1/4, यानी 1 और 2 के बीच पहले चौथाई पर।
2. −2/3 को संख्या रेखा पर दिखाओ।
हर इकाई के 3 भाग करो। 0 से बाईं ओर 2 भाग चलो। बिंदु 0 और −1 के बीच, 0 से दो-तिहाई दूर है।
3. 1/3 और 1/2 के बीच एक परिमेय संख्या बताओ।
औसत: (1/3 + 1/2) ÷ 2 = (2/6 + 3/6) ÷ 2 = 5/6 ÷ 2 = 5/12। जाँच: 1/3 = 4/12 और 1/2 = 6/12, और 5/12 इनके बीच है।
4. 3/5 और 4/5 के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ बताओ।
5 चाहिए, तो 6 से गुणा: 3/5 = 18/30, 4/5 = 24/30। उत्तर: 19/30, 20/30, 21/30, 22/30, 23/30।
5. 7/8 को दशमलव में लिखो। क्या यह खत्म होता है?
70 ÷ 8 = 8 शेष 6। 60 ÷ 8 = 7 शेष 4। 40 ÷ 8 = 5 शेष 0। रुक गए। 7/8 = 0.875। खत्म होता है, क्योंकि 8 = 2×2×2।
6. 10/3 और 1/7 को दशमलव में लिखो।
10/3: हर बार 10 ÷ 3 = 3 शेष 1, तो 10/3 = 3.333… । 1/7: शेषफल 3, 2, 6, 4, 5, 1 आते हैं और फिर दोहराते हैं, तो 1/7 = 0.142857142857… ।
7. भाग किए बिना बताओ, कौन-सा खत्म होगा: 13/40, 7/12, 21/35।
13/40: 40 = 2×2×2×5, खत्म (0.325)। 7/12: 12 में 3 है, दोहराएगा (0.58333…)। 21/35 = 3/5, खत्म (0.6)। पहले हमेशा सरलतम रूप बनाओ!
8. 0.1 और 0.11 के बीच तीन परिमेय संख्याएँ बताओ।
0.1 = 0.100 और 0.11 = 0.110 लिखो। बीच में: 0.101, 0.105, 0.109 (और बहुत सारी)।
आम गलतियाँ
- सोचना कि 1/2 और 3/4 के बीच कुछ नहीं है। बड़े हर से लिखो (10/20 और 15/20), बहुत सारी संख्याएँ मिलेंगी।
- ऋणात्मक संख्या के लिए गलत दिशा में चलना। −2/3 हमेशा 0 के बाईं ओर है।
- सरलतम रूप बनाए बिना सांत/आवर्ती तय करना। 21/35 असल में 3/5 है।
- q = 0 मान लेना। p/0 का कोई अर्थ नहीं, इसलिए q ≠ 0 परिभाषा का हिस्सा है।