बहुपद क्या है?
x में बहुपद 3x², −5x, 7 जैसे पदों का योग है, जिसमें x की घातें पूर्ण संख्याएँ (0, 1, 2, …) हों। सबसे बड़ी घात को घात कहते हैं।
- घात 1: रैखिक, ax + b (a ≠ 0)
- घात 2: द्विघात, ax² + bx + c (a ≠ 0)
- घात 3: त्रिघात, ax³ + bx² + cx + d
x + 1/x और √x + 2 बहुपद नहीं हैं (घात −1 और ½)।
बहुपद का शून्यक
संख्या k, p(x) का शून्यक है यदि p(k) = 0. p(x) = x² − 2x − 3 के लिए p(3) = 9 − 6 − 3 = 0, तो 3 शून्यक है। रैखिक ax + b का शून्यक −b/a है।
शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ
y = p(x) का ग्राफ बनाओ। शून्यक उन बिंदुओं के x-निर्देशांक हैं जहाँ ग्राफ x-अक्ष से मिलता है, क्योंकि वहाँ y = 0.
- रैखिक: सीधी रेखा, ठीक एक शून्यक।
- द्विघात: परवलय (a > 0 हो तो ऊपर खुलता, a < 0 हो तो नीचे)। x-अक्ष को 2 बिंदुओं पर काट सकता है, 1 पर छू सकता है, या बिल्कुल न मिले (0 शून्यक)।
- त्रिघात: अधिक से अधिक 3 शून्यक।
नियम: घात n वाले बहुपद के अधिक से अधिक n शून्यक। ग्राफ से शून्यक गिनने हों तो x-अक्ष पर बिंदु गिनो।
शून्यकों और गुणांकों में संबंध
यदि α और β, ax² + bx + c के शून्यक हैं, तो ax² + bx + c = a(x − α)(x − β) = a[x² − (α+β)x + αβ]. पदों की तुलना से:
α + β = −b/a और αβ = c/a
जाँच: x² − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3), शून्यक −1, 3. योग 2 = −(−2)/1 ✓. गुणनफल −3 = −3/1 ✓.
(अतिरिक्त: त्रिघात ax³ + bx² + cx + d के लिए α+β+γ = −b/a, αβ+βγ+γα = c/a, αβγ = −d/a.)
शून्यकों से द्विघात बहुपद बनाना
शून्यकों का योग S और गुणनफल P पता हो तो द्विघात बहुपद k[x² − Sx + P] है, k कोई भी शून्येतर संख्या। जैसे S = 4, P = 1 से x² − 4x + 1.
करके देखो: प्रयोग
पहले अनुमान लगाओ, फिर 3D के खेल वाले चरण में जाँचो: a = 1, b = −5, c = 6 रखो। लाल गेंदें कहाँ होंगी? (संकेत: कौन-सी दो संख्याओं का योग 5 और गुणा 6 है?) फिर c धीरे-धीरे बढ़ाओ और वह मान लिखो जहाँ दोनों गेंदें मिल जाती हैं। घर पर गेंद धीरे से उछालकर उसका रास्ता बनाओ: ज़मीन वाले दो बिंदु शून्यक जैसे हैं।
बोर्ड परीक्षा के लिए
बहुपद बीजगणित (20 अंक) का हिस्सा है। आम प्रश्न: ग्राफ से शून्यक गिनना (1 अंक), द्विघात के शून्यक निकालकर संबंध सत्यापित करना (3 अंक), दिए योग और गुणनफल से द्विघात बनाना (2 अंक), और α² + β² या 1/α + 1/β जैसे मान निकालना (3 अंक)।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- शून्यक: p(k) = 0
- रैखिक ax + b: शून्यक = −b/a
- α + β = −b/a
- αβ = c/a
- शून्यक α, β वाला द्विघात: k[x² − (α+β)x + αβ]
- α² + β² = (α+β)² − 2αβ
हल किए गए उदाहरण
1. परवलय x-अक्ष को सिर्फ एक बिंदु पर छूता है। कितने शून्यक हैं?
एक शून्यक (दोनों शून्यक बराबर)। शून्यकों की संख्या = x-अक्ष पर मिलने वाले बिंदु।
2. x² + 7x + 10 के शून्यक निकालो और संबंध सत्यापित करो।
x² + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5). शून्यक −2, −5. योग −7 = −b/a ✓. गुणनफल 10 = c/a ✓.
3. 6x² − 3 − 7x के शून्यक निकालो और सत्यापित करो।
6x² − 7x − 3 = 6x² − 9x + 2x − 3 = (3x + 1)(2x − 3). शून्यक −1/3, 3/2. योग 7/6 = −(−7)/6 ✓. गुणनफल −1/2 = −3/6 ✓.
4. 4u² + 8u के शून्यक निकालो।
4u(u + 2) = 0, तो u = 0 या −2. योग −2 = −8/4 ✓. गुणनफल 0 ✓.
5. ऐसा द्विघात बहुपद बनाओ जिसके शून्यकों का योग −1/4 और गुणनफल 1/4 हो।
k[x² + (1/4)x + 1/4]. k = 4 लो: 4x² + x + 1.
6. α, β, x² − 5x + 6 के शून्यक हैं। α² + β² और 1/α + 1/β निकालो।
α + β = 5, αβ = 6. α² + β² = 25 − 12 = 13. 1/α + 1/β = 5/6.
7. x² − 6x + k का एक शून्यक दूसरे का दोगुना है। k निकालो।
शून्यक α, 2α. योग 3α = 6 ⇒ α = 2. गुणनफल 2α² = 8 = k.
आम गलतियाँ
- α + β = b/a लिखना। योग में माइनस है: −b/a.
- पद क्रम में न लगाना: 6x² − 3 − 7x में b = −7 और c = −3.
- x-अक्ष की जगह y-अक्ष पर कटने वाले बिंदु गिनना।
- मानना कि हर द्विघात के दो वास्तविक शून्यक होते हैं। कुछ छूते हैं (1) या मिलते ही नहीं (0)।