प्रतिलोम फलन क्या है?
फलन एक इनपुट x लेकर एक आउटपुट f(x) देता है. प्रतिलोम फलन f⁻¹ उलटी दिशा में चलता है: आउटपुट लेकर इनपुट लौटा देता है.
अगर f(a) = b, तो f⁻¹(b) = a.
एक के बाद दूसरा करो तो वहीं लौट आते हो: f⁻¹(f(x)) = x और f(f⁻¹(x)) = x.
ध्यान दो: f⁻¹ का मतलब 1 ÷ f(x) नहीं है. यहाँ −1 घात नहीं, सिर्फ़ नाम है.
f⁻¹ का प्रांत (डोमेन) = f का परिसर (रेंज), और f⁻¹ का परिसर = f का प्रांत.
प्रतिलोम फलन कैसे निकालें
चार क़दम:
- y = f(x) लिखो.
- x और y की जगह बदलो.
- नए समीकरण को y के लिए हल करो.
- उत्तर f⁻¹(x) = … लिखो और डोमेन बताओ.
उदाहरण: f(x) = 2x + 1. y = 2x + 1. बदलो: x = 2y + 1. हल: y = (x − 1)/2. तो f⁻¹(x) = (x − 1)/2.
जाँच: f(3) = 7 और f⁻¹(7) = 3. सही.
छोटा तरीका: f के क़दम लिखो और उन्हें उलटे क्रम में उलटा करो. f = "×2 फिर +1", तो f⁻¹ = "−1 फिर ÷2".
प्रतिलोम फलन का ग्राफ़
f का हर बिंदु (a, b), f⁻¹ पर (b, a) बन जाता है. निर्देशांक बदलना = रेखा y = x में परावर्तन.
इसलिए f⁻¹ बनाने के लिए y = x को दर्पण मानकर f का ग्राफ़ पलट दो.
- जहाँ f रेखा y = x को काटता है, f⁻¹ भी वहीं काटता है.
- अगर f, y-अक्ष को (0, c) पर काटे, तो f⁻¹, x-अक्ष को (c, 0) पर काटता है.
- मशहूर जोड़े: 2ˣ और log₂ x; x³ और ∛x; x² (x ≥ 0) और √x; eˣ और ln x.
एकैकी फलन और डोमेन सीमित करना
उलटी मशीन को पता होना चाहिए कि कौन-सा इनपुट लौटाना है. इसलिए हर आउटपुट सिर्फ़ एक इनपुट से आना चाहिए. ऐसा फलन एकैकी (one-to-one) कहलाता है.
क्षैतिज रेखा परीक्षण: अगर कोई आड़ी रेखा ग्राफ़ को एक से ज़्यादा बार काटे, तो फलन एकैकी नहीं और उसका प्रतिलोम नहीं.
x² फेल है: 2² = 4 और (−2)² = 4. ग्राफ़ का एक हिस्सा ही रखो. डोमेन x ≥ 0 पर x² एकैकी है और उसका प्रतिलोम वर्गमूल फलन f⁻¹(x) = √x है (x ≥ 0).
हमेशा बढ़ने वाले या हमेशा घटने वाले फलन यह परीक्षण पास करते हैं.
करके देखो: उलटा खेल
दोस्त के साथ: एक जन मन में संख्या सोचे, उसे दुगना करे, 5 जोड़े और सिर्फ़ उत्तर बताए. तुम्हें सोची हुई संख्या निकालनी है. नियम f(x) = 2x + 5 है, तो f⁻¹(x) = (x − 5)/2 लगाओ. 3D में फलन चुनो, स्लाइडर खिसकाओ और देखो कि नीला और नारंगी बिंदु हमेशा दर्पण-छवि रहते हैं.
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- अगर f(a) = b तो f⁻¹(b) = a
- f⁻¹(f(x)) = x और f(f⁻¹(x)) = x
- f⁻¹ का प्रांत = f का परिसर; f⁻¹ का परिसर = f का प्रांत
- f⁻¹ का ग्राफ़ = f के ग्राफ़ का y = x में परावर्तन
- f(x) = ax + b ⇒ f⁻¹(x) = (x − b)/a
- x² (x ≥ 0) ↔ √x; aˣ ↔ logₐ x
हल किए गए उदाहरण
1. f(x) = 3x − 6 का प्रतिलोम निकालो.
y = 3x − 6. बदलो: x = 3y − 6. 6 जोड़ो: x + 6 = 3y. 3 से भाग: y = (x + 6)/3. f⁻¹(x) = (x + 6)/3. जाँच: f(4) = 6, f⁻¹(6) = 4.
2. f(x) = 5x + 2. सूत्र निकाले बिना f⁻¹(17) बताओ.
f⁻¹(17) वह x है जिसके लिए f(x) = 17. 5x + 2 = 17 ⇒ x = 3. तो f⁻¹(17) = 3.
3. f(x) = (x + 4)/2 का प्रतिलोम निकालो और f(f⁻¹(x)) = x जाँचो.
x = (y + 4)/2 ⇒ 2x = y + 4 ⇒ y = 2x − 4. f⁻¹(x) = 2x − 4. जाँच: f(2x − 4) = (2x − 4 + 4)/2 = x. ✔
4. f(x) = x³ + 1 का प्रतिलोम निकालो.
x = y³ + 1 ⇒ y³ = x − 1 ⇒ y = ∛(x − 1). f⁻¹(x) = ∛(x − 1), सभी वास्तविक x के लिए.
5. f(x) = (x − 2)², x ≥ 2 का प्रतिलोम और उसका प्रांत बताओ.
f का परिसर y ≥ 0. x = (y − 2)², y ≥ 2 इसलिए धनात्मक मूल: √x = y − 2. f⁻¹(x) = √x + 2, प्रांत x ≥ 0.
6. f(x) = (2x + 1)/(x − 3), x ≠ 3 का प्रतिलोम निकालो.
x = (2y + 1)/(y − 3) ⇒ xy − 3x = 2y + 1 ⇒ y(x − 2) = 3x + 1. f⁻¹(x) = (3x + 1)/(x − 2), x ≠ 2.
आम गलतियाँ
- f⁻¹(x) को 1/f(x) समझना. f(x) = 2x के लिए f⁻¹(x) = x/2 है, पर 1/f(x) = 1/(2x).
- x और y की अदला-बदली भूल जाना.
- क़दम उलटे क्रम की जगह उसी क्रम में उलटना ("−1 फिर ÷2" सही, "÷2 फिर −1" ग़लत).
- डोमेन सीमित किए बिना x² का प्रतिलोम लिख देना, या √x के लिए x ≥ 0 भूलना.