परिमेय फलन क्या है?
परिमेय फलन f(x) = P(x)/Q(x) है, जहाँ P और Q बहुपद हैं और Q शून्य बहुपद नहीं।
उदाहरण: y = 1/x, y = 3/(x + 2)।
प्रांत: सभी वास्तविक संख्याएँ, सिवाय जहाँ Q(x) = 0।
y = k/x व्युत्क्रम अनुपात है: x दुगुना तो y आधा। इसका ग्राफ़ अतिपरवलय (hyperbola) है।
अनंतस्पर्शी: ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज और तिरछा
अनंतस्पर्शी वह रेखा है जिसके ग्राफ़ पास-पास आता जाता है।
ऊर्ध्वाधर (VA)
x = c जहाँ हर 0 हो पर अंश नहीं।
क्षैतिज (HA)
- अंश की घात < हर की घात → y = 0
- घात बराबर → y = अग्रणी गुणांकों का अनुपात
- अंश की घात एक ज़्यादा → तिरछा अनंतस्पर्शी, भाग देकर निकालो।
ग्राफ़ बीच में क्षैतिज अनंतस्पर्शी को काट सकता है; ऊर्ध्वाधर को कभी नहीं।
छेद, अंतःखंड और क्रम से स्केच
अंश और हर में साझा गुणनखंड कट जाए तो छेद (hole) बनता है। जैसे (x² − 4)/(x − 2) = x + 2, छेद (2, 4) पर।
- गुणनखंड करो, साझा काटो → छेद।
- प्रांत: हर ≠ 0।
- बचे हर के शून्य → VA।
- घातों से HA या तिरछा अनंतस्पर्शी।
- x-अंतःखंड: अंश = 0; y-अंतःखंड: x = 0।
- हर VA के दोनों ओर एक बिंदु जाँचो, फिर स्केच।
व्युत्क्रम और मापांक ग्राफ़, रूपांतरण और प्रतिलोम
y = 1/f(x): जहाँ f = 0 वहाँ VA; f बड़ा तो 1/f छोटा; दोनों का चिह्न एक; f = ±1 पर मिलते हैं।
मापांक: y = |f(x)| ऋणात्मक भाग ऊपर पलट देता है।
रूपांतरण: y = a/(x − h) + k: VA x = h, HA y = k।
प्रतिलोम: (ax + b)/(cx + d) का प्रतिलोम (b − dx)/(cx − a); VA और HA अदला-बदली।
भागफल नियम: (P/Q)′ = (P′Q − PQ′)/Q²। y = 1/x के लिए y′ = −1/x²।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- f(x) = P(x)/Q(x), Q(x) ≠ 0
- VA: x = c जहाँ Q(c) = 0 और P(c) ≠ 0 (काटने के बाद)
- HA: अंश की घात < हर की घात → y = 0; बराबर → y = अग्रणी गुणांकों का अनुपात
- तिरछा अनंतस्पर्शी जब deg P = deg Q + 1 (भाग दो)
- y = a/(x − h) + k: VA x = h, HA y = k
- प्रतिलोम: (ax + b)/(cx + d) → (b − dx)/(cx − a)
- भागफल नियम: (P/Q)′ = (P′Q − PQ′)/Q²
हल किए गए उदाहरण
1. f(x) = 5/(x + 4) का प्रांत?
x = −4 पर हर शून्य। प्रांत: −4 को छोड़ सभी वास्तविक x।
2. y = 3/(x − 2) + 1 के अनंतस्पर्शी?
3/x को 2 दाएँ, 1 ऊपर खिसकाया। VA x = 2, HA y = 1।
3. y = (2x + 1)/(x − 1) के VA, HA और अंतःखंड।
VA: x = 1। HA: घात बराबर, 2/1 → y = 2। x-अंतःखंड: x = −½। y-अंतःखंड: 1/(−1) = −1।
4. y = (x² − 9)/(x − 3) का छेद?
(x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3, x ≠ 3। छेद (3, 6) पर। कोई VA नहीं।
5. y = (x² + 1)/x का तिरछा अनंतस्पर्शी?
(x² + 1)/x = x + 1/x। x बड़ा तो 1/x → 0, अतः y = x। VA x = 0।
6. f(x) = (x + 2)/(x − 3) का प्रतिलोम और उसके अनंतस्पर्शी।
x = (y + 2)/(y − 3) → y(x − 1) = 3x + 2 → f⁻¹(x) = (3x + 2)/(x − 1)। f: VA 3, HA 1; f⁻¹: VA 1, HA 3।
7. y = 1/(x² − 4) का स्केच।
हर = (x − 2)(x + 2): VA x = ±2। HA y = 0। y-अंतःखंड −¼। x = 3 पर +1/5 (ऊपर), x = 0 पर −¼ (नीचे)। बीच का भाग अक्ष के नीचे उल्टे कप जैसा, बाहर के भाग ऊपर।
आम गलतियाँ
- पहले साझा गुणनखंड न काटना और छेद को अनंतस्पर्शी कहना।
- जहाँ अंश शून्य हो वहाँ VA मान लेना। वह x-अंतःखंड है।
- सोचना कि ग्राफ़ क्षैतिज अनंतस्पर्शी को कभी नहीं काटता। बीच में काट सकता है।
- HA के लिए अचर पदों का अनुपात लेना, अग्रणी गुणांकों का नहीं।