त्रिकोणमितीय फलनों को मुख्य मान शाखा क्यों चाहिए
किसी फलन का प्रतिलोम तभी बनता है जब वह एकैकी और आच्छादक हो। sin x हर 2π पर दोहराता है, तो कई x का एक ही मान आता है। यह R पर एकैकी नहीं।
हल: प्रांत को छोटा कीजिए, ऐसा टुकड़ा लीजिए जहाँ फलन हर मान ठीक एक बार ले। इस टुकड़े को मुख्य मान शाखा कहते हैं। इस शाखा से मिला उत्तर मुख्य मान है।
sin x के लिए [−π/2, π/2] लेते हैं। यहाँ sin, −1 से 1 तक लगातार बढ़ता है और दोहराता नहीं। तो sin : [−π/2, π/2] → [−1, 1] एकैकी आच्छादी है, और इसका प्रतिलोम sin⁻¹ : [−1, 1] → [−π/2, π/2] है।
ध्यान दें: sin⁻¹x का मतलब 1/sin x नहीं है। वह cosec x है। यहाँ −1 का मतलब प्रतिलोम है, घात नहीं।
छहों प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का प्रांत और परिसर
| फलन | प्रांत (x) | मुख्य परिसर (उत्तर) |
|---|---|---|
| sin⁻¹x | [−1, 1] | [−π/2, π/2] |
| cos⁻¹x | [−1, 1] | [0, π] |
| tan⁻¹x | R (सभी वास्तविक संख्याएँ) | (−π/2, π/2) |
| cot⁻¹x | R | (0, π) |
| sec⁻¹x | (−∞, −1] ∪ [1, ∞) | [0, π] − {π/2} |
| cosec⁻¹x | (−∞, −1] ∪ [1, ∞) | [−π/2, π/2] − {0} |
खुले सिरे और छेद क्यों? tan, ±π/2 पर और cot, 0 और π पर परिभाषित नहीं, इसलिए वे सिरे खुले हैं। sec, π/2 पर (cos = 0) और cosec, 0 पर (sin = 0) परिभाषित नहीं, इसलिए वे बिंदु हटाए गए।
याद रखिए: प्रतिलोम का प्रांत, मूल फलन का परिसर है, और उल्टा भी।
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ
प्रतिलोम का ग्राफ बनाने के लिए शाखा के ग्राफ को रेखा y = x में परावर्तित कीजिए। हर बिंदु (a, b) → (b, a)।
- y = sin⁻¹x: (−1, −π/2) से (1, π/2) तक, मूल बिंदु से होकर, हमेशा बढ़ता हुआ।
- y = cos⁻¹x: (−1, π) से (1, 0) तक, हमेशा घटता हुआ, (0, π/2) से होकर।
- y = tan⁻¹x: हर x पर परिभाषित, बढ़ता हुआ, y = π/2 और y = −π/2 की ओर चपटा होता पर उन्हें कभी छूता नहीं।
- y = cot⁻¹x: π के पास से 0 के पास तक घटता।
- y = sec⁻¹x और y = cosec⁻¹x: दो अलग हिस्से, एक x ≤ −1 के लिए और एक x ≥ 1 के लिए।
3D का आख़िरी चरण खोलिए और हर फलन पर टैप करके उसका ग्राफ देखिए।
मुख्य मान निकालने का तरीका
- उत्तर को y मानिए, जैसे y = cos⁻¹(−√3/2)।
- सामान्य त्रिकोणमितीय रूप में लिखिए: cos y = −√3/2।
- उस मान वाला कोण ढूँढिए (मानक कोणों की सारणी से)।
- जाँचिए कि कोण मुख्य परिसर में है। नहीं तो ऋणात्मक-तर्क नियम लगाइए।
ऋणात्मक-तर्क नियम
- sin⁻¹(−x) = −sin⁻¹x, tan⁻¹(−x) = −tan⁻¹x, cosec⁻¹(−x) = −cosec⁻¹x
- cos⁻¹(−x) = π − cos⁻¹x, cot⁻¹(−x) = π − cot⁻¹x, sec⁻¹(−x) = π − sec⁻¹x
बोर्ड टिप
इस अध्याय से अक्सर 1–2 अंक का प्रश्न आता है: मुख्य मान निकालिए, या tan⁻¹(1) + cos⁻¹(−1/2) + sin⁻¹(−1/2) जैसा मान ज्ञात कीजिए। इस्तेमाल किया परिसर ज़रूर लिखिए।
करके देखिए: फ़ोन से कोण नापिए
किताबों के ढेर पर एक पटरी टिकाइए। ऊँचाई h और ज़मीन पर दूरी d नापिए। कैलकुलेटर (डिग्री मोड) से θ = tan⁻¹(h/d) निकालिए। फ़ोन के लेवल/चाँदा ऐप से मिलाइए।
3D फ्री प्ले में: sin⁻¹ चुनिए और x को 0.5, फिर −0.5 कीजिए। उत्तर π/6 और −π/6 आते हैं: नियम sin⁻¹(−x) = −sin⁻¹x। अब cos⁻¹ चुनकर यही कीजिए। उत्तर π/3 और 2π/3 आते हैं, जिनका जोड़ π है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- y = sin⁻¹x ⇔ sin y = x, x ∈ [−1, 1], y ∈ [−π/2, π/2]
- y = cos⁻¹x ⇔ cos y = x, x ∈ [−1, 1], y ∈ [0, π]
- y = tan⁻¹x ⇔ tan y = x, x ∈ R, y ∈ (−π/2, π/2)
- cot⁻¹: x ∈ R, y ∈ (0, π); sec⁻¹: |x| ≥ 1, y ∈ [0, π] − {π/2}; cosec⁻¹: |x| ≥ 1, y ∈ [−π/2, π/2] − {0}
- sin⁻¹(−x) = −sin⁻¹x; tan⁻¹(−x) = −tan⁻¹x; cosec⁻¹(−x) = −cosec⁻¹x
- cos⁻¹(−x) = π − cos⁻¹x; cot⁻¹(−x) = π − cot⁻¹x; sec⁻¹(−x) = π − sec⁻¹x
- f⁻¹ का ग्राफ = f की शाखा का रेखा y = x में परावर्तन
- sin⁻¹x ≠ 1/sin x (−1 का अर्थ प्रतिलोम है, घात नहीं)
हल किए गए उदाहरण
1. sin⁻¹(√3/2) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए y = sin⁻¹(√3/2)। तो sin y = √3/2, y ∈ [−π/2, π/2]। sin(π/3) = √3/2 और π/3 परिसर में है। उत्तर π/3।
2. cos⁻¹(−1/2) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
cos⁻¹(−x) = π − cos⁻¹x। cos⁻¹(1/2) = π/3। तो cos⁻¹(−1/2) = π − π/3 = 2π/3। जाँच: 2π/3 ∈ [0, π] और cos(2π/3) = −1/2।
3. tan⁻¹(−1) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
tan⁻¹(−x) = −tan⁻¹x और tan⁻¹(1) = π/4। तो tan⁻¹(−1) = −π/4, जो (−π/2, π/2) में है।
4. sec⁻¹(2) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
y = sec⁻¹(2) तो sec y = 2, यानी cos y = 1/2। [0, π] − {π/2} में cos(π/3) = 1/2। उत्तर π/3।
5. cosec⁻¹(−√2) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
cosec y = −√2 यानी sin y = −1/√2। [−π/2, π/2] − {0} में sin(−π/4) = −1/√2। उत्तर −π/4।
6. cot⁻¹(−√3) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
cot⁻¹(−x) = π − cot⁻¹x। cot⁻¹(√3) = π/6। तो cot⁻¹(−√3) = π − π/6 = 5π/6, जो (0, π) में है।
7. tan⁻¹(1) + cos⁻¹(−1/2) + sin⁻¹(−1/2) का मान ज्ञात कीजिए।
tan⁻¹(1) = π/4, cos⁻¹(−1/2) = 2π/3, sin⁻¹(−1/2) = −π/6। जोड़ = π/4 + 2π/3 − π/6। हर 12 लेकर: 3π/12 + 8π/12 − 2π/12 = 9π/12 = 3π/4।
8. sin⁻¹(sin 2π/3) ज्ञात कीजिए।
सावधान: 2π/3, [−π/2, π/2] में नहीं है, तो उत्तर 2π/3 नहीं। sin(2π/3) = sin(π − π/3) = sin(π/3)। π/3 परिसर में है। उत्तर π/3।
9. y = sin⁻¹(2x − 1) का प्रांत ज्ञात कीजिए।
sin⁻¹ सिर्फ़ −1 से 1 तक के इनपुट लेता है। −1 ≤ 2x − 1 ≤ 1। 1 जोड़िए: 0 ≤ 2x ≤ 2। 2 से भाग: 0 ≤ x ≤ 1। प्रांत [0, 1]।
आम गलतियाँ
- sin⁻¹x को 1/sin x पढ़ना। व्युत्क्रम cosec x है; sin⁻¹x एक कोण है।
- मुख्य परिसर से बाहर का उत्तर देना, जैसे cos⁻¹(−1/2) = −π/3 या sin⁻¹(sin 2π/3) = 2π/3।
- sin⁻¹(−x) = π − sin⁻¹x लिखना। यह नियम cos⁻¹, cot⁻¹, sec⁻¹ का है; sin⁻¹, tan⁻¹, cosec⁻¹ में ऋण चिह्न बस बाहर आ जाता है।
- प्रांत की सीमा भूलना: sin⁻¹(2), cos⁻¹(−3) और sec⁻¹(0.5) परिभाषित नहीं हैं।