सांतत्य क्या है?
फलन f, x = a पर सतत है जब ये तीनों बराबर हों:
- बायीं सीमा (a से थोड़े छोटे मानों से आते हुए),
- दायीं सीमा (a से थोड़े बड़े मानों से आते हुए),
- फलन का असली मान f(a)।
छोटे में: lim(x→a) f(x) = f(a)। अगर कोई एक गायब हो या अलग हो तो ग्राफ़ में छेद या छलाँग होती है।
बहुपद, sin x, cos x, eˣ और ln x (x > 0 के लिए) अपने पूरे प्रांत में सतत हैं। सतत फलनों का योग, अंतर, गुणनफल और भागफल (हर शून्य न हो) भी सतत होता है।
अवकलनीय है तो सतत है, उल्टा ज़रूरी नहीं
जिस बिंदु पर अवकलज है, वहाँ फलन सतत होगा ही। पर |x| शून्य पर सतत है फिर भी वहाँ अवकलज नहीं: ग्राफ़ में नुकीला कोना है, बायीं ढाल −1 और दायीं ढाल +1 है।
अवकलज और शृंखला नियम
अवकलज f′(x) = x पर स्पर्श रेखा की ढाल = lim(h→0) [f(x + h) − f(x)] / h।
शृंखला नियम (फलन के अंदर फलन): y = f(u), u = g(x) हो तो dy/dx = (dy/du) × (du/dx)।
उदाहरण: y = (3x + 1)⁵। बाहर: u⁵ → 5u⁴। अंदर: 3x + 1 → 3। तो dy/dx = 15(3x + 1)⁴।
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज
- d/dx (sin⁻¹x) = 1/√(1 − x²), जहाँ −1 < x < 1
- d/dx (cos⁻¹x) = −1/√(1 − x²)
- d/dx (tan⁻¹x) = 1/(1 + x²)
- d/dx (cot⁻¹x) = −1/(1 + x²)
- d/dx (sec⁻¹x) = 1/(|x|√(x² − 1)), d/dx (cosec⁻¹x) = −1/(|x|√(x² − 1))
tan⁻¹x क्यों: y = tan⁻¹x रखो, तो tan y = x। अवकलन: sec²y · dy/dx = 1, इसलिए dy/dx = 1/(1 + tan²y) = 1/(1 + x²)।
सुझाव: x = tan θ जैसा प्रतिस्थापन उलझे व्यंजक को सरल बना देता है।
अस्पष्ट फलन
कभी x और y मिले होते हैं, जैसे x² + y² = 9। y अलग करने की ज़रूरत नहीं। हर पद का x के सापेक्ष अवकलन करो; y वाले पद के अवकलन पर dy/dx से गुणा करो (शृंखला नियम)। फिर dy/dx वाले पद एक ओर करो।
x² + y² = 9 → 2x + 2y·dy/dx = 0 → dy/dx = −x/y।
चरघातांकी और लघुगणकीय फलन
- d/dx (eˣ) = eˣ — ढाल = ऊँचाई।
- d/dx (ln x) = 1/x, x > 0।
- d/dx (aˣ) = aˣ ln a।
- d/dx (logₐx) = 1/(x ln a)।
शृंखला नियम के साथ: d/dx (e^(3x)) = 3e^(3x), d/dx ln(sin x) = cot x।
लघुगणकीय अवकलन
जब घात में ही x हो (जैसे xˣ) या लंबा गुणनफल/भागफल हो।
- दोनों ओर ln लो: ln y = x ln x।
- अवकलन करो: (1/y) dy/dx = ln x + 1।
- y से गुणा करो: dy/dx = xˣ(1 + ln x)।
प्राचलिक रूप में फलन
जब x और y दोनों किसी तीसरे चर t (प्राचल) पर निर्भर हों, जैसे x = t², y = 2t, तब
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt), जहाँ dx/dt ≠ 0।
वृत्त x = r cos t, y = r sin t के लिए dy/dx = −cot t।
द्वितीय कोटि का अवकलज
एक बार और अवकलन: d²y/dx² = d/dx (dy/dx), जिसे f″(x) या y₂ भी लिखते हैं।
यह बताता है कि ढाल कैसे बदल रही है। f″ > 0: वक्र कटोरी की तरह ऊपर मुड़ता है। f″ < 0: टोपी की तरह नीचे मुड़ता है।
उदाहरण: y = x³ → y′ = 3x² → y″ = 6x।
प्राचलिक रूप में: d²y/dx² = [d/dt (dy/dx)] ÷ (dx/dt)।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- a पर सांतत्य: lim(x→a⁻) f = lim(x→a⁺) f = f(a)
- शृंखला नियम: dy/dx = (dy/du)(du/dx)
- d/dx sin⁻¹x = 1/√(1 − x²), d/dx tan⁻¹x = 1/(1 + x²)
- d/dx eˣ = eˣ, d/dx ln x = 1/x, d/dx aˣ = aˣ ln a
- प्राचलिक: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
- द्वितीय अवकलज: d²y/dx² = d/dx (dy/dx)
हल किए गए उदाहरण
1. f(x) = 2x + 3 (x ≤ 1) और f(x) = 6 − x (x > 1)। क्या f, x = 1 पर सतत है?
बायीं सीमा: 2(1) + 3 = 5। दायीं सीमा: 6 − 1 = 5। f(1) = 5। तीनों बराबर, इसलिए सतत है।
2. k ज्ञात करो ताकि f(x) = kx² (x ≤ 2) और f(x) = 3 (x > 2), x = 2 पर सतत हो।
बायीं सीमा = मान = 4k, दायीं सीमा = 3। 4k = 3, तो k = 3/4।
3. y = sin(x² + 5) का अवकलन करो।
बाहर sin u → cos u; अंदर x² + 5 → 2x। dy/dx = 2x cos(x² + 5)।
4. −1 < x < 1 के लिए y = tan⁻¹(2x/(1 − x²)) का अवकलन करो।
x = tan θ रखो। 2x/(1 − x²) = tan 2θ, तो y = 2θ = 2 tan⁻¹x। dy/dx = 2/(1 + x²)।
5. x² + xy + y² = 7 हो तो dy/dx ज्ञात करो।
2x + (y + x·dy/dx) + 2y·dy/dx = 0। dy/dx (x + 2y) = −(2x + y), अतः dy/dx = −(2x + y)/(x + 2y)।
6. y = e^(3x) · ln x का अवकलन करो।
गुणन नियम: dy/dx = 3e^(3x) ln x + e^(3x)/x = e^(3x)(3 ln x + 1/x)।
7. y = xˣ (x > 0) का अवकलन करो।
ln y = x ln x। (1/y) dy/dx = ln x + 1। dy/dx = xˣ(1 + ln x)।
8. x = a cos t, y = a sin t हो तो dy/dx और d²y/dx² ज्ञात करो।
dx/dt = −a sin t, dy/dt = a cos t, तो dy/dx = −cot t। d/dt(−cot t) = cosec²t। d²y/dx² = cosec²t ÷ (−a sin t) = −1/(a sin³t)।
9. y = 3e^(2x) + 2e^(−x) हो तो दिखाओ y″ − y′ − 2y = 0।
y′ = 6e^(2x) − 2e^(−x); y″ = 12e^(2x) + 2e^(−x)। y″ − y′ − 2y = (12 − 6 − 6)e^(2x) + (2 + 2 − 4)e^(−x) = 0।
आम गलतियाँ
- शृंखला नियम में अंदर का अवकलज भूल जाना: d/dx sin(3x) = 3cos(3x), सिर्फ़ cos(3x) नहीं।
- अस्पष्ट अवकलन में d/dx(y²) = 2y लिखना; सही है 2y·dy/dx।
- सोचना कि हर सतत फलन अवकलनीय है। |x| शून्य पर सतत है पर वहाँ कोना है, अवकलज नहीं।
- प्राचलिक द्वितीय अवकलज में d²y/dt² को d²x/dt² से भाग देना। सही तरीका: dy/dx का t के सापेक्ष अवकलन करके dx/dt से भाग दो।