अतिपरवलयिक फलन (Hyperbolic Functions)

sinh, cosh, tanh और उनके ग्राफ़

तीन मुख्य अतिपरवलयिक फलन eˣ और e⁻ˣ से बनते हैं:

• cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2 (बोलो “कॉश”)
• sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2 (बोलो “शाइन”)
• tanh x = sinh x / cosh x = (eˣ − e⁻ˣ)/(eˣ + e⁻ˣ) (बोलो “थैन”)

ग्राफ़

• cosh x: U आकार, न्यूनतम बिंदु (0, 1), सम फलन (cosh(−x) = cosh x), परिसर y ≥ 1।
• sinh x: S आकार, (0, 0) से होकर, विषम (sinh(−x) = −sinh x), परिसर सभी वास्तविक संख्याएँ।
• tanh x: (0, 0) से होकर, विषम, क्षैतिज अनंतस्पर्शी y = 1 और y = −1, परिसर −1 < y < 1।

साथ ही sech x = 1/cosh x, cosech x = 1/sinh x, coth x = 1/tanh x।

मुख्य सर्वसमिका: cosh² x − sinh² x = 1

परिभाषा से प्रमाण: cosh²x = (e²ˣ + 2 + e⁻²ˣ)/4 और sinh²x = (e²ˣ − 2 + e⁻²ˣ)/4। घटाओ: 4/4 = 1।

इसलिए बिंदु (cosh t, sinh t) अतिपरवलय x² − y² = 1 पर है, जैसे (cos t, sin t) वृत्त x² + y² = 1 पर। “अतिपरवलयिक” नाम यहीं से आया (3D चरण 3)।

cosh²x से भाग देने पर 1 − tanh²x = sech²x। sinh²x से भाग देने पर coth²x − 1 = cosech²x।

प्रतिलोम अतिपरवलयिक फलन और लघुगणक रूप

sinh का प्रतिलोम arsinh (या sinh⁻¹) है। इसका ग्राफ़ sinh का y = x में प्रतिबिंब है।

• arsinh x = ln(x + √(x² + 1)), सभी x
• arcosh x = ln(x + √(x² − 1)), x ≥ 1 (धनात्मक मान लेते हैं, क्योंकि cosh एकैकी नहीं)
• artanh x = ½ ln((1 + x)/(1 − x)), −1 < x < 1

लघुगणक रूप कहाँ से आता है

y = arsinh x लो, तो x = sinh y = (eʸ − e⁻ʸ)/2। 2eʸ से गुणा: e²ʸ − 2x eʸ − 1 = 0। यह eʸ में द्विघात है: eʸ = x ± √(x² + 1)। eʸ धनात्मक होना चाहिए, इसलिए + लो। तब y = ln(x + √(x² + 1))।

और अतिपरवलयिक सर्वसमिकाएँ (ऑस्बॉर्न नियम)

अतिपरवलयिक सर्वसमिकाएँ त्रिकोणमितीय जैसी दिखती हैं, बस कुछ चिह्न बदले होते हैं:

• sinh 2x = 2 sinh x cosh x
• cosh 2x = cosh²x + sinh²x = 2cosh²x − 1 = 1 + 2sinh²x
• sinh(A ± B) = sinh A cosh B ± cosh A sinh B
• cosh(A ± B) = cosh A cosh B ± sinh A sinh B

ऑस्बॉर्न नियम: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका लो, cos को cosh और sin को sinh करो, और जिस पद में दो sin का गुणा है (sin² भी, और tan² भी क्योंकि उसमें sin² छिपा है) उसका चिह्न पलट दो। शक हो तो घातांकीय परिभाषा से जाँच लो।

समीकरण हल करना: eˣ में लिखो, या सर्वसमिका लगाओ। उदाहरण: cosh x = 2 से x = ±arcosh 2 = ±ln(2 + √3)।

अतिपरवलयिक फलनों का अवकलन और समाकलन

• d/dx sinh x = cosh x
• d/dx cosh x = sinh x (cos की तरह ऋण चिह्न नहीं!)
• d/dx tanh x = sech² x

इसलिए ∫ sinh x dx = cosh x + c, ∫ cosh x dx = sinh x + c, ∫ sech²x dx = tanh x + c। शृंखला नियम सामान्य रूप से चलता है: d/dx cosh 3x = 3 sinh 3x।

प्रतिलोमों के अवकलज

• d/dx arsinh x = 1/√(x² + 1)
• d/dx arcosh x = 1/√(x² − 1), x > 1
• d/dx artanh x = 1/(1 − x²), |x| < 1

समाकलन जिनसे प्रतिलोम अतिपरवलयिक फलन मिलते हैं

• ∫ 1/√(x² + a²) dx = arsinh(x/a) + c = ln(x + √(x² + a²)) + c
• ∫ 1/√(x² − a²) dx = arcosh(x/a) + c = ln(x + √(x² − a²)) + c, x > a
• तुलना: ∫ 1/√(a² − x²) dx = arcsin(x/a) + c

प्रतिस्थापन: √(x² + a²) के लिए x = a sinh u, और √(x² − a²) के लिए x = a cosh u। x² + 4x + 13 जैसे द्विघात में पहले पूर्ण वर्ग बनाओ: (x + 2)² + 9।

खुद करके देखो: ज़ंजीर लटकाओ

एक पतली ज़ंजीर या हार को दो उँगलियों के बीच बराबर ऊँचाई पर लटकाओ। जो वक्र दिखता है वह cosh वक्र है। उँगलियाँ पास लाओ: वक्र गहरा होता है पर आकार उसी परिवार का रहता है। फिर 3D फ़्री प्ले में t बदलो और देखो कि हर बार cosh² − sinh² = 1 रहता है।

मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ

• cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2, sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2, tanh x = sinh x/cosh x
• cosh²x − sinh²x = 1; 1 − tanh²x = sech²x
• sinh 2x = 2 sinh x cosh x; cosh 2x = 2cosh²x − 1
• arsinh x = ln(x + √(x² + 1)); arcosh x = ln(x + √(x² − 1)), x ≥ 1; artanh x = ½ ln((1+x)/(1−x))
• d/dx sinh x = cosh x; d/dx cosh x = sinh x; d/dx tanh x = sech²x
• ∫ dx/√(x² + a²) = arsinh(x/a) + c; ∫ dx/√(x² − a²) = arcosh(x/a) + c

हल किए गए उदाहरण

आम गलतियाँ

• d/dx cosh x = −sinh x लिखना। cos की तरह यहाँ ऋण चिह्न नहीं है।
• चिह्न उलझाना: cosh में + (eˣ + e⁻ˣ), sinh में − (eˣ − e⁻ˣ)।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका बिना चिह्न बदले उतारना: cosh²x + sinh²x = cosh 2x है, 1 नहीं।
• arcosh या arsinh के लघुगणक रूप में दोनों चिह्न लेना: eʸ धनात्मक होना चाहिए, और arcosh धनात्मक मान है।