समाकलन यानी संचय: रीमान योग से आयतन तक

बदलाव का संचय और रीमान योग

दर स्थिर हो तो मात्रा = दर × समय। दर बदले तो समय को Δx चौड़े छोटे टुकड़ों में काटो। हर टुकड़े पर दर लगभग स्थिर है, इसलिए मात्रा ≈ f(x)·Δx। फिर सब टुकड़े जोड़ो।

बायाँ, दायाँ, मध्य बिंदु और समलंब योग

[a, b] को n बराबर भागों में बाँटो, Δx = (b − a)/n। बायाँ योग हर भाग के बाएँ सिरे की ऊँचाई लेता है, दायाँ योग दाएँ सिरे की, मध्य बिंदु योग बीच की। समलंब योग सिरों को सीधी रेखा से जोड़ता है, यह बाएँ और दाएँ योग का औसत है। f बढ़ता हो तो बायाँ योग कम और दायाँ ज़्यादा आता है; घटता हो तो उल्टा।

सिग्मा संकेत और सीमा

Σ (सिग्मा) का अर्थ है "जोड़ो"। दायाँ योग = Σ_i=1ⁿ f(a + iΔx)·Δx। निश्चित समाकल इसकी सीमा है जब n → ∞: ∫_a^b f(x) dx = lim Σ f(xᵢ)Δx। परीक्षा में अक्सर योग की सीमा को समाकल में बदलना होता है: Δx से b − a मिलता है, और f के अंदर से पता चलता है कि x कहाँ से शुरू है।

इकाई: समाकल की इकाई = (f की इकाई) × (x की इकाई), जैसे (L/min) × min = L।

संचय फलन और कुल बदलाव

संचय फलन F(x) = ∫_a^x f(t) dt है: एक तय शुरुआत से चलते हुए सिरे तक का क्षेत्रफल। कलन की मूलभूत प्रमेय से F′(x) = f(x)। इसलिए:

• जहाँ f > 0, F बढ़ता है; जहाँ f < 0, F घटता है।
• जहाँ f का चिह्न + से − हो, वहाँ F का स्थानीय उच्चतम; − से + हो, वहाँ स्थानीय निम्नतम।
• जहाँ f बढ़ रहा है वहाँ F ऊपर की ओर अवतल, जहाँ f घट रहा है वहाँ नीचे की ओर अवतल।

कुल बदलाव का नियम: अंत की मात्रा = शुरू की मात्रा + ∫ दर। जैसे टंकी में 50 L है और 10 मिनट तक r(t) L/min से पानी आता है, तो अंत में 50 + ∫₀¹⁰ r(t) dt लीटर। अगर पानी निकल भी रहा है तो (आने की दर − जाने की दर) का समाकल लो।

औसत मान, गति और अनुचित समाकल

औसत मान

f_औसत = (1/(b − a)) ∫_a^b f(x) dx। यह उस आयत की ऊँचाई है जिसका क्षेत्रफल उतना ही हो। इसे औसत परिवर्तन दर (f(b) − f(a))/(b − a) से मत मिलाओ।

स्थिति, वेग, त्वरण

v = ∫ a dt और s = ∫ v dt। विस्थापन = ∫_t₁^t₂ v dt (चिह्न सहित)। दूरी = ∫_t₁^t₂ |v| dt: जहाँ v = 0 हो वहाँ अंतराल तोड़ो और हिस्सों के आकार जोड़ो। समय t पर स्थिति = शुरुआती स्थिति + ∫ v। समतल में चलते कण का वेग ⟨x′(t), y′(t)⟩ हो तो हर भाग का अलग समाकल लो; चाल = √(x′² + y′²) और तय दूरी = ∫ चाल dt।

अनुचित (improper) समाकल

अगर सीमा अनंत हो या [a, b] के अंदर f अनंत हो जाए, तो उसे सीमा के रूप में लिखो। ∫₁^∞ 1/x² dx = lim_b→∞ (1 − 1/b) = 1, यानी अभिसारी। ∫₁^∞ 1/x dx = lim ln b = ∞, यानी अपसारी। याद रखो: ∫₁^∞ 1/xᵖ dx तभी अभिसारी है जब p > 1।

आयतन: अनुप्रस्थ काट, डिस्क और वॉशर

आयतन = ∫ (एक टुकड़े का क्षेत्रफल) dx। टुकड़ा पतला है, इसलिए उसका आयतन = क्षेत्रफल × Δx।

ज्ञात अनुप्रस्थ काट

आधार कोई क्षेत्र हो और हर टुकड़ा s लंबाई के खंड पर बना आकार हो: वर्ग → s²; समबाहु त्रिभुज → (√3/4)s²; समद्विबाहु समकोण त्रिभुज (भुजा s) → s²/2; अर्धवृत्त (व्यास s) → (π/8)s²; आयत (ऊँचाई h) → s·h।

डिस्क विधि

y = f(x) को x-अक्ष के चारों ओर घुमाओ: हर टुकड़ा R = f(x) त्रिज्या की डिस्क है, इसलिए V = π∫ R² dx।

वॉशर विधि

बीच में छेद हो तो टुकड़ा वॉशर है: V = π∫ (R² − r²) dx, R बाहरी और r भीतरी त्रिज्या। π∫(R − r)² dx कभी मत लिखो।

दूसरे अक्ष

रेखा y = k के चारों ओर: R = |f(x) − k|। खड़ी रेखा x = h के चारों ओर हो तो क्षैतिज टुकड़े लो और y में समाकल करो, त्रिज्या |g(y) − h|। त्रिज्या हमेशा घूर्णन अक्ष से नापो।

करके देखो

नल से एक बोतल भरो और हर 10 सेकंड बाद नल थोड़ा और खोलो। हर 10 s पर मोटी दर लिखो (250 mL का कप कितने सेकंड में भरता है, गिनो)। दरों × 10 s से बायाँ और दायाँ योग बनाओ। दोनों की बोतल के असली आयतन से तुलना करो। 3D के दूसरे चरण में n बढ़ाकर त्रुटि घटते देखो।

मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ

• Δx = (b − a)/n; दायाँ योग = Σ f(a + iΔx)·Δx
• ∫ₐᵇ f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(xᵢ)Δx
• F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt ⇒ F′(x) = f(x)
• अंत की मात्रा = शुरू की मात्रा + ∫ दर dt
• f_औसत = (1/(b − a)) ∫ₐᵇ f(x) dx
• विस्थापन = ∫ v dt; दूरी = ∫ |v| dt
• डिस्क: V = π∫ R² dx; वॉशर: V = π∫ (R² − r²) dx
• अनुप्रस्थ काट: V = ∫ A(x) dx (वर्ग s², अर्धवृत्त πs²/8)

हल किए गए उदाहरण

आम गलतियाँ

• वेग का चिह्न बदलने पर भी दूरी = ∫ v dt लेना। v = 0 पर तोड़ो और |v| लो।
• वॉशर का आयतन π∫(R − r)² dx लिखना। सही है π∫(R² − r²) dx।
• औसत मान (1/(b−a))∫f dx को औसत परिवर्तन दर (f(b) − f(a))/(b − a) से मिला देना।
• y = k के चारों ओर घुमाते समय भी R = f(x) लेना। त्रिज्या अक्ष से दूरी है: |f(x) − k|।