ढाल क्षेत्र बनाना
dy/dx = x − y जैसा अवकल समीकरण किसी भी बिंदु (x, y) पर ढाल बताता है। ढाल क्षेत्र बनाने के लिए:
- ग्रिड बिंदु चुनो, जैसे x और y, −2 से 2।
- हर बिंदु पर ढाल निकालो।
- उस ढाल की छोटी रेखा बनाओ।
सुझाव: ढाल 0 → सपाट रेखा। जिन बिंदुओं पर ढाल बराबर हो, वे समनति रेखाएँ (isoclines) हैं (x − y में y = x पर ढाल 0)। नियम में सिर्फ़ x हो तो हर स्तंभ एक जैसा; सिर्फ़ y हो तो हर पंक्ति एक जैसी।
ढाल क्षेत्र से तर्क करना
शुरुआती शर्त वाले बिंदु से गुज़रता हल-वक्र रेखाओं के साथ चलता है, उन्हें काटता नहीं।
- क्षेत्र और समीकरण मिलाना: आसान बिंदु जाँचो (ढाल 0 कहाँ? धनात्मक कहाँ? सिर्फ़ x पर निर्भर?)।
- संतुलन हल: क्षैतिज रेखाएँ जहाँ हर x के लिए dy/dx = 0 (लॉजिस्टिक में P = 0 और P = K)।
- लंबे समय का व्यवहार: रेखाओं के पीछे चलो — वक्र बढ़ता है, घटता है या किसी स्तर पर रुकता है?
- अवतलता: नियम का फिर अवकलन करके d²y/dx² निकालो।
ऑयलर विधि से हल का सन्निकटन
(x₀, y₀) से शुरू करो। कदम h चुनो। दोहराओ:
yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ), xₙ₊₁ = xₙ + h।
हर कदम स्पर्श रेखा पर चलता है — यानी रैखिकीकरणों की एक कड़ी।
- छोटा h → ज़्यादा कदम → सही हल के ज़्यादा पास।
- सही हल अवतल ऊपर हो तो ऑयलर कम अनुमान देता है; अवतल नीचे हो तो ज़्यादा।
x, y, ढाल, h × ढाल वाली तालिका से काम साफ़ रहता है।
लॉजिस्टिक मॉडल
घातीय वृद्धि dP/dt = kP कभी नहीं रुकती, पर असली आबादी का भोजन और जगह खत्म होती है। लॉजिस्टिक मॉडल:
dP/dt = kP(1 − P/K)
- K = वहन क्षमता। 0 < P₀ < K हो तो P बढ़कर K की ओर; P₀ > K हो तो घटकर K की ओर।
- वृद्धि P = K/2 पर सबसे तेज़ (S-वक्र का नति-परिवर्तन बिंदु)।
- हल: P(t) = K / (1 + A e^(−kt)), A = (K − P₀)/P₀।
- t → ∞ पर P(t) → K।
प्रतिरोधी (कर्षण) बल और सीमांत वेग
m द्रव्यमान की गेंद वायु प्रतिरोध −bv के साथ गिरती है (b की इकाई kg/s)। न्यूटन का दूसरा नियम: m dv/dt = mg − bv।
- v = 0 पर त्वरण g है।
- v बढ़ने पर प्रतिरोध बढ़ता है, त्वरण घटता है।
- bv = mg होने पर त्वरण 0: सीमांत वेग v_t = mg/b।
- चर पृथक्करण से v(t) = v_t(1 − e^(−t/τ)), समय-स्थिरांक τ = m/b।
एक τ के बाद चाल v_t का 63% होती है; 5τ के बाद 99% से ज़्यादा। तेज़ वस्तुओं के लिए प्रतिरोध v² जैसा बढ़ सकता है; तब v_t = √(mg/c)।
करके देखो: कागज़ के कप की दौड़
दो कागज़ के कपकेक कप लो। पहले एक, फिर दो एक के ऊपर एक, 2 m से गिराओ। भारी जोड़ी का सीमांत वेग ज़्यादा है (v_t = mg/b, m बढ़ा) और वह पहले गिरती है। फिर कागज़ पर dy/dx = y का 5 × 5 ढाल क्षेत्र बनाओ और (0, 1) से वक्र खींचो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- ढाल क्षेत्र: (x, y) पर ढाल = f(x, y)
- ऑयलर: yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ)
- लॉजिस्टिक: dP/dt = kP(1 − P/K)
- P(t) = K / (1 + A e^(−kt)), A = (K − P₀)/P₀
- सबसे तेज़ लॉजिस्टिक वृद्धि P = K/2 पर
- कर्षण: m dv/dt = mg − bv
- v_t = mg/b, v(t) = v_t(1 − e^(−bt/m))
हल किए गए उदाहरण
1. dy/dx = x − y के लिए (0, 0), (1, 0) और (0, 2) पर ढाल निकालो।
ढाल = x − y: (0,0) → 0, सपाट; (1,0) → 1; (0,2) → −2, तेज़ी से नीचे।
2. एक ढाल क्षेत्र में हर पंक्ति की रेखाएँ एक जैसी हैं और y = 1 पर सपाट हैं। dy/dx = x − 1 या dy/dx = y − 1?
हर पंक्ति एक जैसी, यानी नियम में सिर्फ़ y। y = 1 पर सपाट, यानी y − 1 = 0। तो dy/dx = y − 1।
3. h = 0.5 से ऑयलर विधि लगाओ: dy/dx = x − y, y(0) = 4; y(1) का अनुमान।
कदम 1: (0, 4) पर ढाल −4; y₁ = 4 + 0.5(−4) = 2, x = 0.5। कदम 2: (0.5, 2) पर ढाल −1.5; y₂ = 2 − 0.75 = 1.25, x = 1। अनुमान y(1) ≈ 1.25।
4. उदाहरण 3 का सही हल y = x − 1 + 5e^(−x) है। ऑयलर अनुमान ज़्यादा है या कम, और क्यों?
सही y(1) = 5/e ≈ 1.839। ऑयलर ने 1.25 दिया — कम। यहाँ y″ = 1 − x + y > 0, वक्र अवतल ऊपर है, इसलिए स्पर्श-कदम नीचे रह जाते हैं।
5. dP/dt = 0.8P(1 − P/10), P(0) = 1। वहन क्षमता, सबसे तेज़ वृद्धि वाली आबादी और lim P(t) बताओ।
K = 10। सबसे तेज़ P = 5 पर। t → ∞ पर P → 10।
6. उदाहरण 5 के लिए P(t) और P(2) निकालो।
A = 9। P(t) = 10/(1 + 9e^(−0.8t))। P(2) = 10/(1 + 9e^(−1.6)) = 10/2.817 ≈ 3.55।
7. 0.5 kg की गेंद b = 0.25 kg/s प्रतिरोध के साथ गिरती है (g = 9.8 m/s²)। v_t, τ और 2 s बाद चाल निकालो।
v_t = 0.5 × 9.8 / 0.25 = 19.6 m/s। τ = m/b = 2 s। v(2) = 19.6(1 − e^(−1)) ≈ 12.4 m/s।
आम गलतियाँ
- हल-वक्र को ढाल रेखाओं या दूसरे वक्रों को काटते हुए बनाना। हल रेखाओं के साथ चलता है।
- ऑयलर में नए बिंदु की ढाल लेना। आगे बढ़ने के लिए हमेशा पुराने बिंदु की ढाल f(xₙ, yₙ) लो।
- मानना कि लॉजिस्टिक वृद्धि P = K पर सबसे तेज़ है। K पर वृद्धि रुकती है; सबसे तेज़ K/2 पर।
- कहना कि सीमांत वेग पर कोई बल नहीं लगता। बल लगते हैं, बस संतुलित हैं (प्रतिरोध = भार), इसलिए त्वरण शून्य।