वृद्धि के मॉडल: पुनरावर्ती अनुक्रम और y' = ay + b

पुनरावर्ती अनुक्रम मॉडल

पुनरावर्ती नियम हर पद को उससे पहले के पद और एक शुरुआती मान से बनाता है। दो सरल नियम:

• समांतर: u(n+1) = u(n) + r। हर कदम पर r जुड़ता है। तब u(n) = u(0) + n·r।
• गुणोत्तर: u(n+1) = q·u(n)। हर कदम पर q से गुणा। तब u(n) = u(0)·qⁿ।

बराबर सालाना बचत के लिए समांतर, ब्याज और जनसंख्या वृद्धि के लिए गुणोत्तर काम आता है।

समांतर-गुणोत्तर अनुक्रम

बहुत-से असली मॉडल दोनों करते हैं: u(n+1) = a·u(n) + b। अगर a ≠ 1 हो तो स्थिर बिंदु L ढूँढो, ऐसा मान जो बदलता नहीं: L = a·L + b, इसलिए L = b ÷ (1 − a)।

अब v(n) = u(n) − L लिखो। तब v(n+1) = a·v(n): यह गुणोत्तर है! इसलिए v(n) = aⁿ·v(0) और

u(n) = L + aⁿ·(u(0) − L)

अगर |a| < 1 तो aⁿ शून्य की ओर जाता है, इसलिए u(n) → L। अगर a > 1 तो यह बिना सीमा बढ़ता है (जब तक u(0) = L न हो)।

समीकरण y' = ay + b

अब समय सतत मानो। y के बदलने की दर y' = a·y + b है। हल है

y(x) = C·e^ax − b/a (a ≠ 0), जहाँ C शुरुआती मान से मिलता है।

स्थिर हल y = −b/a साम्य है, स्थिर बिंदु जैसा। a < 0 हो तो हर हल उसकी ओर जाता है; a > 0 हो तो उससे दूर।

असतत और सतत मॉडल

असतत मॉडल कदमों में बदलता है (साल में एक बार)। सतत मॉडल हर पल बदलता है। अगर u(n+1) = a·u(n) + b को y' = k·y + c से मिलाएँ जहाँ a = e^k, तो वक्र हर बिंदु से ठीक गुज़रता है। निश्चित समय पर नापते हों (सालाना जनगणना) तो असतत लो; बदलाव सहज हो (ठंडा होना, क्षय) तो सतत।

लॉजिस्टिक मॉडल

सादी वृद्धि हमेशा नहीं चल सकती। सीमित जगह में वृद्धि सीमा K के पास धीमी हो जाती है। एक सरल लॉजिस्टिक नियम है

u(n+1) = u(n) + r·u(n)·(1 − u(n)/K)

u छोटा हो तो कोष्ठक 1 के पास है, इसलिए वृद्धि लगभग गुणोत्तर और तेज़। u, K के पास पहुँचे तो कोष्ठक 0 के पास है और वृद्धि रुक जाती है। ग्राफ़ S-आकार का वक्र है। सतत रूप y' = r·y·(1 − y/K) है।

यूलर विधि

ज़्यादातर समीकरणों का सुंदर सूत्र नहीं होता। यूलर विधि छोटे कदम h में ढलान के साथ चलती है:

y(n+1) = y(n) + h·f(y(n)), जहाँ y' = f(y)।

छोटा h बेहतर उत्तर देता है पर ज़्यादा कदम चाहिए। 3D के लॉजिस्टिक बार ठीक h = 1 वाले यूलर कदम हैं।

करके देखो: पहले अनुमान, फिर जाँच

3D के फ़्री-प्ले में a = 0.8, b = 4, शुरुआत = 2 रखो। b ÷ (1 − a) से सीमा का अनुमान लगाओ। हरी रेखा से जाँचो। अब a = 0.5, b = 4 लो: पहले अनुमान, फिर जाँच। आख़िर में a = 1 करो। यह कैसा अनुक्रम है?

मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ

• समांतर: u(n) = u(0) + n·r
• गुणोत्तर: u(n) = u(0)·qⁿ
• स्थिर बिंदु: L = b ÷ (1 − a), a ≠ 1
• u(n) = L + aⁿ·(u(0) − L)
• y' = ay + b का हल y = C·e^ax − b/a
• यूलर: y(n+1) = y(n) + h·f(y(n))
• लॉजिस्टिक: u(n+1) = u(n) + r·u(n)·(1 − u(n)/K)

हल किए गए उदाहरण

आम गलतियाँ

• a = 1 होने पर भी L = b ÷ (1 − a) लगाना। तब स्थिर बिंदु नहीं होता (जब तक b = 0 न हो); अनुक्रम समांतर है।
• सोचना कि हर u(n+1) = a·u(n) + b की कोई सीमा होती है। सीमा तभी जब |a| < 1।
• y' = ay + b हल करते समय ऋण चिह्न भूल जाना: स्थिर हल −b/a है, b/a नहीं।
• यूलर विधि में बड़ा h लेकर नतीजे पर भरोसा करना। छोटे h से जाँच लो।