बिंदु पर और अंतराल पर सांतत्य
फलन f बिंदु a पर संतत है जब तीन बातें सही हों: f(a) मौजूद हो, x → a पर f(x) की सीमा मौजूद हो, और दोनों बराबर हों: lim f(x) = f(a)।
आसान शब्दों में: x बाएँ से और दाएँ से a के पास आता है, तो f(x) भी उसी संख्या f(a) के पास आता है। न छेद, न छलांग, न अनंत।
फलन अंतराल पर संतत तब है जब वह उसके हर बिंदु पर संतत हो। बंद अंतराल [a, b] के सिरों पर सिर्फ़ वही तरफ़ लेते हैं जो मौजूद है।
अच्छी बात: बहुपद, sin, cos, घातांकी फलन हर जगह संतत हैं। 1/x जहाँ परिभाषित है वहाँ संतत है, पर 0 पर परिभाषित ही नहीं, इसलिए वहाँ टूटता है। संतत फलनों का जोड़, गुणा और संयोजन भी संतत होता है।
अवकलनीय हो तो संतत होता है
अगर f का a पर अवकलज (derivative) है, तो f वहाँ संतत है। स्पर्श रेखा उसी वक्र पर बन सकती है जिसमें टूट नहीं। इसलिए अवकलनीय ⇒ संतत।
उल्टा सही नहीं। |x| शून्य पर संतत है (टूट नहीं) पर वहाँ नुकीला कोना है, इसलिए अवकलज नहीं। संतत होना, अवकलनीय होने से कमज़ोर बात है।
अभिसारी अनुक्रम का प्रतिबिंब
अनुक्रम uₙ संख्या L की ओर अभिसरित होता है। अगर f बिंदु L पर संतत है, तो f(uₙ) भी f(L) की ओर अभिसरित होता है। लिखते हैं: lim f(uₙ) = f(lim uₙ)।
उदाहरण: uₙ = 2 + 1/n का सीमांत मान 2 है। f(x) = x² के लिए f(uₙ) → f(2) = 4। इस तरह सीमा को संतत फलन के अंदर ले जा सकते हैं। अगर uₙ₊₁ = f(uₙ) और uₙ → L, तो L = f(L): सीमा एक स्थिर बिंदु है।
मध्यमान प्रमेय (IVT)
मान लो f अंतराल [a, b] पर संतत है। अगर k, f(a) और f(b) के बीच कोई संख्या है, तो [a, b] में कम से कम एक c ऐसा है कि f(c) = k।
इससे मूल का अस्तित्व सिद्ध करते हैं: अगर f(a) और f(b) के चिह्न उलटे हैं, तो k = 0 लो, यानी a और b के बीच f का शून्यक है। उदाहरण: f(x) = x² − 5 में f(2) = −1 और f(3) = 4, इसलिए x² = 5 का हल 2 और 3 के बीच है।
दोनों शर्तें ज़रूरी हैं: f पूरे बंद अंतराल पर संतत होना चाहिए। [−1, 1] पर 1/x में चिह्न बदलता है पर मूल नहीं है, क्योंकि 0 पर 1/x टूटता है।
द्विभाजन (Bisection): अंतराल को बार-बार आधा करो और वही आधा रखो जिसमें चिह्न बदलता है। मूल को जितना चाहो कसकर पकड़ सकते हो।
कड़ाई से एकदिष्ट (strictly monotone) स्थिति
अगर f संतत है और [a, b] पर कड़ाई से बढ़ता (या घटता) है, तो f(a) और f(b) के बीच का हर मान k ठीक एक बार मिलता है। एकदिष्ट कहता है "अधिकतम एक", IVT कहता है "कम से कम एक"।
इसी से सिद्ध करते हैं कि समीकरण f(x) = k का हल अद्वितीय है, जैसे x³ + x = 5 (अवकलज 3x² + 1 धनात्मक है, इसलिए f कड़ाई से बढ़ता है)। इसी कारण संतत और कड़ाई से एकदिष्ट फलन का प्रतिलोम फलन होता है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- a पर संतत: lim(x→a) f(x) = f(a)
- a पर अवकलनीय ⇒ a पर संतत
- अगर uₙ → L और f, L पर संतत: f(uₙ) → f(L)
- IVT: f, [a, b] पर संतत, k, f(a) और f(b) के बीच ⇒ [a, b] में कोई c जिसके लिए f(c) = k
- मूल की जाँच: f(a) × f(b) < 0 ⇒ (a, b) में एक मूल
- द्विभाजन का मध्य बिंदु: m = (a + b) / 2
हल किए गए उदाहरण
1. क्या f(x) = 3x² − 2x, x = 4 पर संतत है? f(4) निकालो।
f बहुपद है, इसलिए हर जगह संतत है। lim f(x) = f(4) = 3(16) − 8 = 40।
2. f(x) = x + 1 (x < 2) और f(x) = ax − 1 (x ≥ 2)। a ऐसा निकालो कि f, 2 पर संतत हो।
बायाँ सीमांत = 2 + 1 = 3। 2 पर मान = 2a − 1। बराबर रखो: 2a − 1 = 3, इसलिए a = 2।
3. f(x) = (x² − 4)/(x − 2), x ≠ 2। f(2) कितना रखें कि f, 2 पर संतत हो?
x ≠ 2 के लिए f(x) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2। 2 पर सीमा 4 है, इसलिए f(2) = 4 रखो।
4. दिखाओ कि x³ − x − 1 = 0 का एक मूल 1 और 2 के बीच है।
f(x) = x³ − x − 1 बहुपद है, इसलिए संतत। f(1) = −1 < 0 और f(2) = 5 > 0। IVT से (1, 2) में c है जिसके लिए f(c) = 0।
5. x² − 2 = 0 के लिए [1, 2] पर द्विभाजन का एक कदम लो। मूल किस आधे में है?
मध्य 1.5: f(1.5) = 2.25 − 2 = 0.25 > 0। f(1) = −1 < 0। चिह्न 1 और 1.5 के बीच बदलता है, इसलिए मूल [1, 1.5] में है।
6. दिखाओ कि x³ + x = 5 का ठीक एक हल है।
f(x) = x³ + x − 5 संतत है। f(1) = −3 और f(2) = 5, इसलिए IVT से (1, 2) में मूल है। f′(x) = 3x² + 1 > 0, इसलिए f कड़ाई से बढ़ता है और शून्य को सिर्फ़ एक बार काटता है। ठीक एक हल।
आम गलतियाँ
- "सीमा मौजूद है" को काफ़ी मान लेना। सीमा f(a) के बराबर भी हो और f(a) मौजूद भी हो।
- ऐसे अंतराल पर IVT लगाना जहाँ f संतत नहीं (जैसे [−1, 1] पर 1/x)।
- संतत को अवकलनीय समझ लेना। |x| शून्य पर संतत है पर अवकलनीय नहीं।
- सोचना कि IVT सही मूल बताता है या कहता है कि मूल सिर्फ़ एक है। वह सिर्फ़ इतना कहता है कि कम से कम एक है।