औसत ढलान और स्पर्श ढलान
A से B तक वक्र की औसत ढलान यानी वह कितना ऊपर उठा, उसे आगे बढ़ी दूरी से भाग देना। A और B से गुज़रने वाली सीधी रेखा को छेदक रेखा (secant) कहते हैं।
एक बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढलान वह रेखा है जो वहाँ वक्र को बस छूती है। यही अवकलज f'(x) है।
औसत ढलान = (f(b) − f(a)) ÷ (b − a)। पूरे टुकड़े के लिए एक ही संख्या होती है। स्पर्श ढलान हर बिंदु पर बदलती है।
माध्यमान प्रमेय (Mean Value Theorem)
मान लो फलन f
- बंद अंतराल [a, b] पर संतत (continuous) है, यानी पेंसिल उठाए बिना खींचा जा सकता है, और
- खुले अंतराल (a, b) पर अवकलनीय (differentiable) है, यानी बीच में कोई तेज़ कोना या टूट नहीं है।
तब a और b के बीच कम से कम एक बिंदु c ऐसा है कि
f'(c) = (f(b) − f(a)) / (b − a)
यानी वक्र पर कहीं स्पर्श रेखा, छेदक रेखा AB के समांतर होती है। 3D में लाल रेखा खिसकाओगे तो वह मिल जाएगी।
रोल का प्रमेय: सीधी रेखा वाली विशेष स्थिति
अगर वक्र के दोनों सिरे बराबर ऊँचाई पर हैं, f(a) = f(b), तो औसत ढलान 0 है। तब प्रमेय कहता है कि कोई बिंदु c ऐसा है जहाँ f'(c) = 0 यानी स्पर्श रेखा सीधी लेटी है। यह पहाड़ की चोटी या घाटी की तली होती है।
रोल के प्रमेय में तीन बातें चाहिए: [a, b] पर संतत, (a, b) पर अवकलनीय, और f(a) = f(b)।
शर्तें क्यों ज़रूरी हैं
अगर वक्र के बीच में कोना है तो वहाँ स्पर्श रेखा तय नहीं होती और प्रमेय फ़ेल हो सकता है। उदाहरण: [−1, 2] पर f(x) = |x|। औसत ढलान (2 − 1) ÷ 3 = 1/3 है, पर ढलान सिर्फ़ −1 या +1 होती है, 1/3 कभी नहीं, क्योंकि 0 पर कोना है।
अगर वक्र में छलांग (टूट) है तो वह संतत नहीं है, और स्पर्श रेखा छेदक से मेल नहीं खा सकती। प्रमेय लगाने से पहले शर्तें ज़रूर जाँचो।
सवाल में c कैसे निकालें
- जाँचो कि f, [a, b] पर संतत और (a, b) पर अवकलनीय है।
- औसत ढलान (f(b) − f(a)) ÷ (b − a) निकालो।
- f'(x) निकालो और f'(c) = औसत ढलान हल करो।
- सिर्फ़ वही उत्तर रखो जो (a, b) के अंदर हों।
इस प्रमेय से यह भी सिद्ध होता है कि जिस फलन का f'(x) हर जगह 0 हो, वह अचर (constant) होता है।
खुद करके देखो
3D में: स्लाइडर खिसकाने से पहले अंदाज़ा लगाओ कि हरा निशान कहाँ होगा। फिर c खिसकाकर जाँचो। फिर B को खिसकाओ और देखो हरा निशान कैसे हिलता है।
घर पर: एक रास्ते पर 10 कदम चलो और समय नोट करो। औसत चाल = 10 कदम ÷ समय। दोस्त से देखने को कहो: क्या कोई पल था जब तुम ठीक इसी चाल से चले? प्रमेय कहता है हाँ, अगर तुम्हारी चाल धीरे-धीरे बदली हो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- औसत ढलान = (f(b) − f(a)) / (b − a)
- माध्यमान प्रमेय: f'(c) = (f(b) − f(a)) / (b − a), (a, b) में किसी c के लिए
- रोल का प्रमेय: अगर f(a) = f(b), तो (a, b) में किसी c पर f'(c) = 0
- शर्तें: [a, b] पर संतत, (a, b) पर अवकलनीय
हल किए गए उदाहरण
1. [1, 3] पर f(x) = x² के लिए c निकालो।
पहला कदम: f बहुपद है, इसलिए चिकना है। दूसरा: औसत ढलान = (9 − 1) / (3 − 1) = 4। तीसरा: f'(x) = 2x, तो 2c = 4 और c = 2। चौथा: 2, (1, 3) के अंदर है, इसलिए c = 2।
2. [0, 4] पर f(x) = x² − 4x + 3 के लिए रोल का प्रमेय जाँचो और c निकालो।
f(0) = 3 और f(4) = 16 − 16 + 3 = 3, इसलिए f(0) = f(4)। यह बहुपद है, बाकी शर्तें ठीक हैं। f'(x) = 2x − 4। 2c − 4 = 0 से c = 2, जो (0, 4) के अंदर है।
3. [0, 2] पर f(x) = x³ के लिए c निकालो।
औसत ढलान = (8 − 0) / 2 = 4। f'(x) = 3x², तो 3c² = 4 और c = ±2/√3 ≈ ±1.155। सिर्फ़ +1.155, (0, 2) में है। इसलिए c ≈ 1.155।
4. एक कार 2 घंटे में 150 किमी चलती है। माध्यमान प्रमेय उसकी चाल के बारे में क्या कहता है?
औसत चाल = 150 / 2 = 75 किमी/घंटा। अगर स्थिति धीरे-धीरे बदलती है तो किसी पल स्पीडोमीटर ठीक 75 किमी/घंटा दिखाएगा।
5. [1, e] पर f(x) = ln x के लिए c निकालो।
औसत ढलान = (ln e − ln 1) / (e − 1) = 1 / (e − 1)। f'(x) = 1/x, तो 1/c = 1/(e − 1) और c = e − 1 ≈ 1.718, जो (1, e) के अंदर है।
6. क्या [−1, 2] पर f(x) = |x| के लिए माध्यमान प्रमेय लगता है?
नहीं। x = 0 पर f अवकलनीय नहीं है और 0 अंतराल के अंदर है। औसत ढलान 1/3 है पर f'(x) सिर्फ़ −1 या 1 होती है, इसलिए c नहीं मिलता। शर्त टूट गई।
आम गलतियाँ
- शर्तें जाँचना भूल जाना। अंतराल के अंदर कोना या टूट प्रमेय को फ़ेल कर सकता है।
- ऐसा c लिख देना जो (a, b) के बाहर है। हमेशा देखो कि c सिरों के बीच है।
- दोनों प्रमेय मिला देना। रोल में f(a) = f(b) चाहिए; माध्यमान प्रमेय में नहीं।
- c को बीच का बिंदु मान लेना। c वहाँ है जहाँ ढलान मिलती है, ज़रूरी नहीं कि बीच में हो।