द्विपद प्रमेय का इतिहास
इस प्रमेय के पीछे का संख्या-त्रिभुज बहुत पुराना है। प्राचीन भारत में पिंगल (लगभग ईसा पूर्व दूसरी शताब्दी) ने छंदों में लघु-गुरु अक्षरों के पैटर्न गिने, जिनसे ये संख्याएँ बनती हैं; बाद में हलायुध (10वीं शताब्दी) जैसे विद्वानों ने इसे मेरु प्रस्तार कहा। फ़ारस (अल-करजी, उमर ख़य्याम) और चीन (यांग हुई) के गणितज्ञ भी इसे जानते थे। 17वीं शताब्दी में ब्लेज़ पास्कल ने इसके गुणों का विस्तार से अध्ययन किया, इसलिए इसे पास्कल त्रिभुज कहते हैं। न्यूटन ने बाद में इसे भिन्न घातों तक बढ़ाया (यह पाठ्यक्रम में नहीं)।
द्विपद प्रमेय का कथन
किसी भी धन पूर्णांक n और संख्याओं a, b के लिए:
(a + b)ⁿ = ⁿC₀aⁿ + ⁿC₁aⁿ⁻¹b + ⁿC₂aⁿ⁻²b² + … + ⁿCₙbⁿ
- कुल n + 1 पद।
- a की घात n से 0 तक घटती, b की 0 से n तक बढ़ती; हर पद में योग n।
- ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ होने से गुणांक सममित हैं।
- (a − b)ⁿ में b की जगह −b: चिह्न बारी-बारी +, −, +, …। (1 + x)ⁿ = ⁿC₀ + ⁿC₁x + … + ⁿCₙxⁿ।
- x = 1 रखने पर ⁿC₀ + ⁿC₁ + … + ⁿCₙ = 2ⁿ।
गणितीय आगमन से उपपत्ति
मान लीजिए P(n) प्रमेय का कथन है।
- आधार, n = 1: (a + b)¹ = ¹C₀a + ¹C₁b = a + b। सत्य।
- मान लें P(k) सत्य है: (a + b)ᵏ = ᵏC₀aᵏ + ᵏC₁aᵏ⁻¹b + … + ᵏCₖbᵏ।
- P(k + 1) दिखाएँ: (a + b)ᵏ⁺¹ = (a + b)(a + b)ᵏ। हर पद को a से और b से गुणा करें, फिर समान घातों वाले पद मिलाएँ। पद aᵏ⁺¹⁻ʳbʳ का गुणांक ᵏCᵣ + ᵏCᵣ₋₁ बनता है।
- पास्कल नियम से ᵏCᵣ + ᵏCᵣ₋₁ = ᵏ⁺¹Cᵣ। पहला और अंतिम गुणांक 1 रहता है। इसलिए (a + b)ᵏ⁺¹ ठीक P(k + 1) के रूप में है।
- आगमन से, P(n) हर धन पूर्णांक n के लिए सत्य है।
3D का चरण 5 यही दिखाता है: पंक्ति 5 का हर खंभा पंक्ति 4 के दो पड़ोसियों से बनता है।
पास्कल त्रिभुज
सबसे ऊपर 1 लिखें (पंक्ति 0)। हर पंक्ति 1 से शुरू और 1 पर खत्म होती है, और बीच की हर संख्या ठीक ऊपर की दो संख्याओं का योग है।
पंक्ति 0: 1 · पंक्ति 1: 1 1 · पंक्ति 2: 1 2 1 · पंक्ति 3: 1 3 3 1 · पंक्ति 4: 1 4 6 4 1 · पंक्ति 5: 1 5 10 10 5 1 · पंक्ति 6: 1 6 15 20 15 6 1
पंक्ति n में ⁿC₀, ⁿC₁, …, ⁿCₙ हैं, जो (a + b)ⁿ के गुणांक हैं। हर पंक्ति सममित है और उसका योग 2ⁿ है। बड़े n के लिए ⁿCᵣ सूत्र लगाएँ।
सरल अनुप्रयोग: व्यापक, मध्य और विशेष पद
- व्यापक पद: Tᵣ₊₁ = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ। (a − b)ⁿ में (−1)ʳ ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ।
- मध्य पद: n सम हो तो एक मध्य पद T₍ₙ/₂₎₊₁; n विषम हो तो दो: T₍ₙ₊₁₎/₂ और T₍ₙ₊₃₎/₂।
- x से स्वतंत्र पद: Tᵣ₊₁ में x की घात लिखें, उसे 0 रखें, r निकालें।
- xᵏ का गुणांक: x की घात = k रखें।
- सन्निकटन और तुलना: (0.99)⁵ = (1 − 0.01)⁵ ≈ 0.951। 1.01¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰ और 10000 की तुलना: पहले दो पद 1 + 1000000 × 0.01 = 10001 > 10000।
बोर्ड परीक्षा के लिए
पूछा जाता है: (2x − 3/x)⁴ जैसा प्रसार (2–3 अंक), व्यापक, मध्य या अचर पद (3 अंक), (99)⁵ या (1.1)⁴ का मान (2 अंक), और 9ⁿ⁺¹ − 8n − 9 का 64 से विभाज्य होना (3 अंक)। मान रखने से पहले Tᵣ₊₁ साफ़ लिखें।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- (a + b)ⁿ = Σ ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ, r = 0 से n (n + 1 पद)
- Tᵣ₊₁ = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ; (a − b)ⁿ के लिए (−1)ʳ ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
- पास्कल नियम: ⁿCᵣ₋₁ + ⁿCᵣ = ⁿ⁺¹Cᵣ
- ⁿC₀ + ⁿC₁ + … + ⁿCₙ = 2ⁿ
- मध्य पद: n सम → T₍ₙ/₂₎₊₁; n विषम → T₍ₙ₊₁₎/₂ और T₍ₙ₊₃₎/₂
हल किए गए उदाहरण
1. (x + 2)⁴ का प्रसार कीजिए।
पंक्ति 4: 1, 4, 6, 4, 1। (x + 2)⁴ = x⁴ + 4x³(2) + 6x²(4) + 4x(8) + 16 = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16।
2. (2x − y)³ का प्रसार कीजिए।
a = 2x, b = −y, पंक्ति 3: 1, 3, 3, 1। 8x³ − 12x²y + 6xy² − y³।
3. द्विपद प्रमेय से (101)⁴ ज्ञात कीजिए।
(100 + 1)⁴ = 100⁴ + 4·100³ + 6·100² + 4·100 + 1 = 104060401।
4. (x − 2/x)⁷ का चौथा पद ज्ञात कीजिए।
T₄ = T₃₊₁, r = 3। T₄ = ⁷C₃ x⁴ (−2/x)³ = 35 × (−8x) = −280x।
5. (x/2 + 3)⁸ का मध्य पद ज्ञात कीजिए।
n = 8 सम, मध्य पद T₅ (r = 4)। T₅ = ⁸C₄ (x/2)⁴ (3)⁴ = 70 × x⁴/16 × 81 = (2835/8) x⁴।
6. (x² + 1/x)⁹ में x से स्वतंत्र पद ज्ञात कीजिए।
Tᵣ₊₁ = ⁹Cᵣ x¹⁸⁻³ʳ। 18 − 3r = 0 से r = 6। T₇ = ⁹C₆ = 84।
7. (1 + 2x)⁸ में x⁵ का गुणांक ज्ञात कीजिए।
Tᵣ₊₁ = ⁸Cᵣ (2x)ʳ, r = 5: ⁸C₅ × 2⁵ = 56 × 32 = 1792।
8. दिखाइए कि हर धन पूर्णांक n के लिए 9ⁿ⁺¹ − 8n − 9, 64 से विभाज्य है।
9ⁿ⁺¹ = (1 + 8)ⁿ⁺¹ = 1 + (n + 1)8 + ⁿ⁺¹C₂8² + … इसलिए 9ⁿ⁺¹ − 8n − 9 = 64[ⁿ⁺¹C₂ + ⁿ⁺¹C₃·8 + …] = 64 × (पूर्ण संख्या)। अतः 64 से विभाज्य।
आम गलतियाँ
- ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ को r-वाँ पद कहना। यह (r + 1)वाँ पद है।
- (a − b)ⁿ में ऋण चिह्न छोड़ देना। b = −y रखें; चिह्न बारी-बारी बदलते हैं।
- गुणांक की भी घात लगाना भूलना: (2x)³ = 8x³, 2x³ नहीं।
- (a + b)ⁿ में n पद मानना। पद n + 1 होते हैं।