प्रायिकता: एक घटना की संभावना

पहले ये शब्द समझो

• प्रयोग: ऐसा काम जिसका नतीजा पहले से पक्का न हो (सिक्का उछालना, पासा फेंकना)।
• परिणाम: एक संभव नतीजा (चित; संख्या 4)।
• समप्रायिक: किसी परिणाम की संभावना दूसरे से ज़्यादा नहीं (सही सिक्का, सही पासा)।
• घटना: परिणामों का वह समूह जिसमें हमें रुचि है ("सम संख्या" = {2, 4, 6})।
• अनुकूल परिणाम: वे परिणाम जिनसे घटना हो जाती है।

प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा

अगर किसी प्रयोग के n समप्रायिक परिणाम हैं और उनमें से m घटना E के अनुकूल हैं, तो

P(E) = m ÷ n = (अनुकूल परिणामों की संख्या) ÷ (कुल परिणामों की संख्या)

इसे सैद्धांतिक प्रायिकता भी कहते हैं, क्योंकि इसे सोचकर निकालते हैं, प्रयोग करके नहीं।

ध्यान दो: यह सिर्फ़ तब चलता है जब परिणाम समप्रायिक हों। "6 या 6 नहीं" दो परिणाम हैं, पर समप्रायिक नहीं, इसलिए P(6) = 1/2 नहीं।

प्रायिकता का परास: 0 से 1 तक

m कभी 0 से कम या n से ज़्यादा नहीं हो सकता, इसलिए 0 ≤ P(E) ≤ 1।

• असंभव घटना: P = 0 (पासे पर 7 आना)।
• निश्चित घटना: P = 1 (पासे पर 7 से छोटी संख्या आना)।
• प्रारंभिक घटना में सिर्फ़ एक परिणाम होता है। किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।

पूरक घटनाएँ: P(E) + P(E नहीं) = 1

घटना "E नहीं" (Ē) ठीक तब होती है जब E नहीं होती। E और "E नहीं" मिलकर हर परिणाम को ढक लेती हैं, बिना दोहराए। इसलिए

P(E नहीं) = 1 − P(E)

यह छोटा रास्ता है: P(बारिश) = 0.7 है तो बिना गिने P(बारिश नहीं) = 0.3।

एक घटना वाले सरल प्रश्न: सिक्का, पासा, ताश, थैला

एक सिक्का: 2 परिणाम (चित, पट)।

एक पासा: 6 परिणाम (1 से 6)। सम: 2, 4, 6। अभाज्य: 2, 3, 5। विषम: 1, 3, 5।

52 पत्तों की ताश की गड्डी: 4 रंग (हुकुम ♠ और चिड़ी ♣ काले; पान ♥ और ईंट ♦ लाल), हर रंग में 13 पत्ते: इक्का, 2–10, गुलाम, बेगम, बादशाह। यानी 26 लाल, 26 काले, 4 इक्के, 4 बादशाह, और 12 फेस कार्ड (हर रंग के गुलाम, बेगम, बादशाह)।

गेंदों या टिकटों का थैला: हर रंग या संख्या गिनो, फिर अनुकूल ÷ कुल।

हर सवाल का तरीका: (1) सारे परिणाम गिनो, (2) अनुकूल गिनो, (3) भाग दो, (4) सरल करो।

बोर्ड परीक्षा में कैसे आता है

CBSE कक्षा 10 में प्रायिकता से आमतौर पर 1 अंक का बहुविकल्पी और 2 या 3 अंक का प्रश्न आता है (सांख्यिकी और प्रायिकता इकाई 11 अंक की है)। ताश और थैले वाले सवाल सबसे ज़्यादा आते हैं। भिन्न लिखने से पहले कुल और अनुकूल परिणाम ज़रूर लिखो और उत्तर सरल करो।

करके देखो: पहले अंदाज़ा, फिर जाँच

एक डिब्बे में 3 लाल और 7 दूसरे रंग की पर्चियाँ रखो। अंदाज़ा: P(लाल) = 3/10 = 0.3। अब एक पर्ची निकालो, रंग लिखो, वापस डालो, और 30 बार दोहराओ। लाल की गिनती को 30 से भाग दो। क्या यह 0.3 के पास है? 3D के आखिरी चरण में "निकालो ×50" कई बार दबाओ: जितना ज़्यादा निकालोगे, नतीजा सूत्र के उतना पास आएगा।

अपनी समझ जाँचो

1. एक पासे पर 7 आने की प्रायिकता? (0, असंभव।)

2. P(E) = 0.25 हो तो P(E नहीं)? (0.75)

मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ

• P(E) = अनुकूल परिणामों की संख्या ÷ कुल परिणामों की संख्या
• 0 ≤ P(E) ≤ 1
• P(असंभव घटना) = 0, P(निश्चित घटना) = 1
• P(E नहीं) = 1 − P(E)
• सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग = 1
• ताश: 52 पत्ते, 4 रंग × 13, 26 लाल, 26 काले, 12 फेस कार्ड, 4 इक्के

हल किए गए उदाहरण

आम गलतियाँ

• गेंदों की जगह रंग गिन लेना। 3 लाल और 5 नीली गेंदों में P(लाल) = 3/8 है, 1/2 नहीं।
• जहाँ परिणाम समप्रायिक नहीं, वहाँ भी अनुकूल ÷ कुल लगाना ("6 या 6 नहीं" से P(6) = 1/2 नहीं होता)।
• 1 से बड़ा या ऋणात्मक उत्तर देना। हर प्रायिकता 0 और 1 के बीच होती है।
• भूल जाना कि फेस कार्ड सिर्फ़ गुलाम, बेगम, बादशाह (12) हैं। इक्का फेस कार्ड नहीं है।