प्रायिकता का परिचय: पैमाना, प्रयोग, प्रतिदर्श समष्टि और वृक्ष आरेख

यादृच्छिकता और प्रायिकता का पैमाना

यादृच्छिक (रैंडम) प्रयोग वह है जिसमें हमें सारे संभव परिणाम पता हैं, पर अगली बार कौन-सा आएगा यह पक्का नहीं कह सकते। सिक्का उछालना और पासा फेंकना यादृच्छिक हैं।

प्रायिकता बताती है कि कोई घटना कितनी संभव है, 0 से 1 के पैमाने पर:

• 0 = असंभव (साधारण पासे पर 7)
• 0 और ½ के बीच = कम संभव
• ½ = बराबर मौका (सही सिक्के पर चित)
• ½ और 1 के बीच = अधिक संभव
• 1 = निश्चित

इसे भिन्न, दशमलव या प्रतिशत में लिख सकते हैं: ½ = 0.5 = 50%।

आनुभविक (प्रयोगात्मक) प्रायिकता

प्रयोग कई बार करो (हर बार एक परीक्षण) और गिनो कि घटना कितनी बार हुई।

आनुभविक प्रायिकता P(E) = जितने परीक्षणों में E हुई ÷ कुल परीक्षण।

उदाहरण: 200 उछाल, 108 चित → P(H) = 108 ÷ 200 = 0.54। हर बार प्रयोग दोहराने पर उत्तर थोड़ा बदलता है, पर ज़्यादा परीक्षणों पर यह असली मान के पास टिक जाता है।

इससे अनुमान लगा सकते हैं: अगर जाँचे गए 2% बल्ब खराब हैं, तो 5000 में से लगभग 2% (100 बल्ब) खराब होंगे।

प्रतिदर्श समष्टि और घटनाएँ

परिणाम एक संभव नतीजा है। सभी परिणामों की सूची प्रतिदर्श समष्टि S है। घटना उन परिणामों का समूह है जो हमें चाहिए।

• एक पासा: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}। घटना "सम संख्या" = {2, 4, 6}।
• दो सिक्के: S = {HH, HT, TH, TT}।

जब सभी परिणाम समप्रायिक (बराबर संभव) हों: P(E) = E के परिणाम ÷ S के परिणाम।

P(E नहीं) = 1 − P(E)। सभी परिणामों की प्रायिकताओं का जोड़ 1 होता है।

वृक्ष आरेख और सारणी

जब दो चीज़ें हों (दो सिक्के, दो पासे, दो बार निकालना), तो परिणाम साफ-साफ लिखो:

• वृक्ष आरेख: पहले चरण की शाखाएँ, फिर हर शाखा से दूसरे चरण की। हर शाखा पर प्रायिकता लिखो। रास्ते पर गुणा करो; घटना के अलग-अलग रास्तों को जोड़ो।
• सारणी: पहली चीज़ ऊपर, दूसरी बाईं ओर। दो पासों से 6 × 6 = 36 खाने बनते हैं। चाहे गए खाने गिनो।

गिनती का नियम: पहले चरण के m परिणाम और दूसरे के n हों, तो कुल m × n परिणाम।

बोर्ड परीक्षा में क्या आता है

CBSE कक्षा 9 (2026-27) में सांख्यिकी और प्रायिकता के 10 अंक हैं। प्रश्न: घटनाओं को प्रायिकता पैमाने पर रखना, परिणामों की सारणी से आनुभविक प्रायिकता, प्रतिदर्श समष्टि लिखना, वृक्ष आरेख या पासों की सारणी, और "प्रायिकता कभी … नहीं हो सकती" जैसे बहुविकल्पीय प्रश्न।

घर पर करके देखो

सिक्का 20 बार उछालो और हर बार H या T लिखो। P(H) निकालो। अब 4 दोस्तों के नतीजे मिलाओ (100 उछाल)। क्या उत्तर ½ के ज़्यादा पास आया? फिर दो पासे 36 बार फेंको और जोड़ों का मिलान करो। कौन-सा जोड़ सबसे ज़्यादा आया? सारणी से मिलाओ: जोड़ 7 सबसे ज़्यादा आना चाहिए।

मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ

• 0 ≤ P(E) ≤ 1; P(असंभव) = 0, P(निश्चित) = 1
• आनुभविक P(E) = E जितनी बार हुई ÷ कुल परीक्षण
• समप्रायिक परिणाम: P(E) = E के परिणाम ÷ S के परिणाम
• P(E नहीं) = 1 − P(E)
• वृक्ष: रास्ते पर गुणा, अलग रास्तों को जोड़ो
• m विकल्प फिर n विकल्प → m × n परिणाम (2 सिक्के: 4, 2 पासे: 36)

हल किए गए उदाहरण

आम गलतियाँ

• प्रायिकता 1 से ज़्यादा या 0 से कम लिख देना। यह हमेशा 0 और 1 के बीच होती है।
• HT और TH को एक ही परिणाम मानना। दो सिक्कों के 4 परिणाम हैं, 3 नहीं।
• मानना कि आनुभविक प्रायिकता हमेशा सैद्धांतिक मान के बराबर होगी। ज़्यादा परीक्षणों पर ही वह पास आती है।
• वृक्ष के रास्ते पर गुणा की जगह जोड़ देना। रास्ते पर गुणा; अलग रास्तों को जोड़ो।