परिमाप और परिधि
परिमाप = किसी आकृति के चारों ओर की कुल लंबाई। बस सारी भुजाएँ जोड़ दो। भुजाओं a, b, c वाले त्रिभुज का परिमाप = a + b + c।
वृत्त के परिमाप को परिधि कहते हैं। किसी भी गोल चीज़ का किनारा नापो और व्यास से भाग दो। हर बार लगभग 3.14 आता है। इसी संख्या को π (पाई) कहते हैं।
- परिधि = π × d = 2πr (d = व्यास, r = त्रिज्या)
- सवालों में π ≈ 22/7 या 3.14 लेते हैं।
π अपरिमेय क्यों है
π = 3.14159265… इसके दशमलव अंक कभी खत्म नहीं होते और कोई दोहराने वाला पैटर्न भी नहीं बनता। इसलिए π को दो पूर्ण संख्याओं के भिन्न p/q के रूप में नहीं लिख सकते। ऐसी संख्या को अपरिमेय कहते हैं।
इसलिए 22/7 असल में π नहीं है, बस उसके पास का मान है (22/7 = 3.142857…, π = 3.141592…)। π अपरिमेय है, इसका प्रमाण (लैम्बर्ट, 1761) कक्षा 9 से आगे का है; तुम्हें बस यह तथ्य और उसका मतलब पता होना चाहिए।
हीरोन का सूत्र: तीन भुजाओं से त्रिभुज का क्षेत्रफल
क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई के लिए ऊँचाई चाहिए। कई बार हमें सिर्फ तीनों भुजाएँ पता होती हैं। तब हीरोन का सूत्र लगाओ।
- अर्धपरिमाप (आधा परिमाप) निकालो: s = (a + b + c) ÷ 2
- s − a, s − b और s − c निकालो।
- क्षेत्रफल = √(s(s − a)(s − b)(s − c))
जाँच: s − a, s − b, s − c तीनों धनात्मक होने चाहिए। कोई शून्य या ऋणात्मक आए, तो उन भुजाओं से त्रिभुज बन ही नहीं सकता।
कोई भी बहुभुज: विकर्ण खींचकर त्रिभुजों में बाँटो, हर त्रिभुज का क्षेत्रफल हीरोन से निकालो और जोड़ दो।
चक्रीय चतुर्भुज के लिए ब्रह्मगुप्त का सूत्र
चक्रीय चतुर्भुज वह चतुर्भुज है जिसके चारों शीर्ष एक ही वृत्त पर हों। हर आयत और वर्ग चक्रीय होता है।
भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त (7वीं सदी) ने चार भुजाओं a, b, c, d से इसका क्षेत्रफल बताया:
- s = (a + b + c + d) ÷ 2
- क्षेत्रफल = √((s − a)(s − b)(s − c)(s − d))
ध्यान दो: अगर d = 0 कर दो तो आकृति त्रिभुज बन जाती है और हीरोन का सूत्र वापस मिल जाता है! सावधान: यह सूत्र सिर्फ चक्रीय चतुर्भुज के लिए सही है।
चाप की लंबाई
चाप वृत्त के किनारे का एक हिस्सा है। अगर चाप केंद्र पर θ कोण बनाता है, तो वह पूरे वृत्त का θ/360 भाग है।
चाप की लंबाई l = (θ/360) × 2πr
उदाहरण: 90° का चाप परिधि का 90/360 = 1/4 भाग है।
वृत्त और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²। त्रिज्यखंड दो त्रिज्याओं के बीच का टुकड़ा है, पिज़्ज़ा के टुकड़े जैसा।
- त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360) × πr²
- त्रिज्यखंड का परिमाप = 2r + चाप की लंबाई
- इसे ½ × l × r भी लिख सकते हैं (l = चाप की लंबाई)।
टुकड़े को भिन्न की तरह सोचो: कोण ÷ 360 बताता है कि वृत्त का कितना हिस्सा तुम्हारे पास है।
बोर्ड परीक्षा में क्या आता है
CBSE कक्षा 9 (2026-27) में क्षेत्रमिति के 14 अंक हैं। हीरोन के सूत्र पर प्रश्न (खेत को दो त्रिभुजों में बाँटकर, 3–4 अंक), चाप और त्रिज्यखंड (2–3 अंक), π और परिधि पर बहुविकल्पीय प्रश्न, और पार्क या खेत पर केस-स्टडी प्रश्न आते हैं।
घर पर करके देखो
एक थाली या चूड़ी लो। उसके किनारे पर धागा लपेटो, फिर धागा सीधा करके नापो। अब स्केल से व्यास नापो। धागे की लंबाई ÷ व्यास करो। उत्तर 3.14 के पास आएगा। तीन गोल चीज़ों पर करके देखो। फिर कागज़ का त्रिभुज काटो, भुजाएँ नापो और हीरोन से क्षेत्रफल निकालो। ग्राफ पेपर के खाने गिनकर जाँचो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- त्रिभुज का परिमाप = a + b + c
- अर्धपरिमाप s = (a + b + c) ÷ 2
- हीरोन: क्षेत्रफल = √(s(s − a)(s − b)(s − c))
- ब्रह्मगुप्त (चक्रीय चतुर्भुज): क्षेत्रफल = √((s − a)(s − b)(s − c)(s − d)), s = (a + b + c + d) ÷ 2
- परिधि = 2πr = πd
- चाप की लंबाई = (θ/360) × 2πr
- वृत्त का क्षेत्रफल = πr²; त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360) × πr² = ½ l r
हल किए गए उदाहरण
1. एक पहिए का व्यास 70 सेमी है। 1.1 किमी चलने में वह कितने पूरे चक्कर लगाएगा? (π = 22/7)
परिधि = πd = 22/7 × 70 = 220 सेमी। 1.1 किमी = 110000 सेमी। चक्कर = 110000 ÷ 220 = 500।
2. 13 सेमी, 14 सेमी और 15 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालो।
s = (13 + 14 + 15) ÷ 2 = 21। s − a = 8, s − b = 7, s − c = 6। क्षेत्रफल = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84 सेमी²।
3. एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाएँ 5, 5 और 6 सेमी हैं। क्षेत्रफल निकालो।
s = 8। क्षेत्रफल = √(8 × 3 × 3 × 2) = √144 = 12 सेमी²। जाँच: ऊँचाई = √(25 − 9) = 4, तो ½ × 6 × 4 = 12 ✔
4. चतुर्भुज ABCD में AB = 3, BC = 4, CD = 4, DA = 5 मी और विकर्ण AC = 5 मी है। क्षेत्रफल निकालो।
त्रिभुज ABC (3, 4, 5): s = 6, क्षेत्रफल = √(6 × 3 × 2 × 1) = 6 मी²। त्रिभुज ACD (5, 4, 5): s = 7, क्षेत्रफल = √(7 × 2 × 3 × 2) = √84 ≈ 9.17 मी²। कुल ≈ 15.17 मी²।
5. एक चक्रीय चतुर्भुज की भुजाएँ 7, 15, 20 और 24 सेमी हैं। क्षेत्रफल निकालो।
s = (7 + 15 + 20 + 24) ÷ 2 = 33। (s−a)(s−b)(s−c)(s−d) = 26 × 18 × 13 × 9 = 54756। क्षेत्रफल = √54756 = 234 सेमी²।
6. एक त्रिज्यखंड की त्रिज्या 21 सेमी और कोण 120° है। चाप की लंबाई, क्षेत्रफल और परिमाप निकालो। (π = 22/7)
भाग = 120/360 = 1/3। परिधि = 2 × 22/7 × 21 = 132, तो चाप = 44 सेमी। वृत्त का क्षेत्रफल = 22/7 × 441 = 1386, तो त्रिज्यखंड = 462 सेमी²। परिमाप = 21 + 21 + 44 = 86 सेमी।
7. घड़ी की मिनट की सुई 14 सेमी लंबी है। 5 मिनट में वह कितना क्षेत्रफल घेरती है? (π = 22/7)
60 मिनट में 360°, तो 5 मिनट में 30°। क्षेत्रफल = 30/360 × 22/7 × 14 × 14 = 1/12 × 616 ≈ 51.33 सेमी²।
आम गलतियाँ
- हीरोन के सूत्र में अर्धपरिमाप s की जगह पूरा परिमाप रख देना।
- अंत में वर्गमूल लेना भूल जाना, या मात्रक गलत लिखना: क्षेत्रफल सेमी² में, परिमाप और चाप सेमी में।
- ब्रह्मगुप्त का सूत्र किसी भी चतुर्भुज पर लगा देना। यह सिर्फ चक्रीय चतुर्भुज के लिए सही है।
- त्रिज्यखंड के परिमाप में सिर्फ चाप लिखना। दोनों त्रिज्याएँ भी जोड़नी होती हैं: 2r + l।