Ukraine 9 клас Geometry

अध्याय: 7

1. Solving triangles

Trigonometric functions of angles 0°-180° · Law of cosines · Law of sines · Solving triangles in practice

कोज्या नियम (Law of Cosines) – किसी भी त्रिभुज में c² = a² + b² − 2ab cos C, जहाँ C भुजाओं a और b के बीच का कोण है। C = 90° हो तो cos C = 0 और यह पाइथागोरस बन जाता है। दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण (SAS) पता हो तो तीसरी भुजा निकालो; तीनों भुजाएँ (SSS) पता हों तो कोण निकालो: cos C = (a² + b² − c²) ÷ 2ab।
ज्या नियम (Law of Sines) – किसी भी त्रिभुज में हर भुजा को उसके सामने वाले कोण के sin से भाग दो, तो एक ही संख्या मिलती है: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R। यहाँ R उस वृत्त की त्रिज्या है जो तीनों शीर्षों से होकर जाता है। जब दो कोण और एक भुजा पता हो (AAS, ASA), या दो भुजाएँ और ऐसा कोण जो उनके बीच न हो (SSA), तब यह नियम लगाओ। SSA में दो, एक या शून्य त्रिभुज बन सकते हैं।

2. Regular polygons

Regular polygons and their properties · Circle length and area of a disc

सम बहुभुज और उनके वृत्त – सम बहुभुज (regular polygon) की सभी भुजाएँ बराबर और सभी कोण बराबर होते हैं। हर सम बहुभुज का एक केंद्र O होता है, सभी शीर्षों से गुज़रने वाला परिवृत्त (त्रिज्या R) और हर भुजा को छूने वाला अंतर्वृत्त (त्रिज्या r, जिसे शीर्षलंब/एपोथम कहते हैं)। n भुजाओं और भुजा a के लिए: केंद्रीय कोण = 360°/n, अंतः कोण = (n − 2)·180°/n, R = a / (2 sin(180°/n)), r = a / (2 tan(180°/n)), क्षेत्रफल = ½ · परिमाप · r। खास स्थितियाँ: त्रिभुज R = a/√3, r = a/(2√3); वर्ग R = a/√2, r = a/2; षट्भुज R = a, r = a√3/2।
क्षेत्रफल और परिमाप: हीरोन का सूत्र, वृत्त और त्रिज्यखंड – परिमाप यानी किनारे की कुल लंबाई। क्षेत्रफल यानी अंदर की जगह। जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ पता हों, तो हीरोन का सूत्र बिना ऊँचाई के क्षेत्रफल दे देता है। जिस चतुर्भुज के चारों कोने एक वृत्त पर हों, उसके लिए ब्रह्मगुप्त का सूत्र है। वृत्त का किनारा व्यास का π गुना होता है, और त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का एक भाग होता है।

3. Cartesian coordinates on the plane

Distance and midpoint · Equation of a figure: circle and line

कार्तीय तल: निर्देशांक, दूरी और मध्य-बिंदु – दो संख्या रेखाएँ समकोण पर काटें, तो एक सपाट सतह नक्शा बन जाती है, जिसमें हर बिंदु का एक पता (x, y) होता है। अक्ष मूल बिंदु O(0, 0) पर मिलते हैं और तल को चार चतुर्थांशों में बाँटते हैं। दूरी पाइथागोरस से मिलती है: x का अंतर और y का अंतर, दोनों का वर्ग, जोड़ो, फिर वर्गमूल। मध्य-बिंदु में x का औसत और y का औसत लेते हैं। दो छोटी दूरियों का योग सबसे बड़ी दूरी के बराबर हो तो तीनों बिंदु संरेख हैं; और दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग बड़ी भुजा के वर्ग के बराबर हो तो समकोण बनता है।
वृत्त का समीकरण – वृत्त उन बिंदुओं का समूह है जो केंद्र (h, k) से एक तय दूरी r पर हों। दूरी सूत्र से इसका समीकरण (x − h)² + (y − k)² = r² है; केंद्र मूलबिंदु पर हो तो x² + y² = r²। कोष्ठक खोलने पर x² + y² + Dx + Ey + F = 0 मिलता है, जिसका केंद्र (−D/2, −E/2) और r² = D²/4 + E²/4 − F है। केंद्र से रेखा की दूरी d, r से कम, बराबर या ज़्यादा हो तो रेखा वृत्त से 2, 1 या 0 बिंदुओं पर मिलती है। दो वृत्तों की तुलना उनके केंद्रों की दूरी से होती है।

4. Vectors on the plane

Vectors and coordinates · Operations on vectors · Dot product

समतल में गति के लिए अदिश और सदिश (कक्षा 11) – अदिश में सिर्फ परिमाण होता है; सदिश में परिमाण और दिशा दोनों। परिमाण और दिशा समान हों तो सदिश बराबर। किसी संख्या से गुणा करने पर लंबाई बदलती है (ऋणात्मक संख्या दिशा उल्टी कर देती है)। सदिश पूँछ-से-सिर जुड़ते हैं; A − B = A + (−B)। समतल का हर सदिश A = Ax î + Ay ĵ, जहाँ Ax = A cos θ, Ay = A sin θ। A·B = AB cos θ एक अदिश है; A×B का परिमाण AB sin θ और दिशा दोनों के लंबवत।

5. Geometric transformations

Motions (isometries) · Similarity transformation

रूपांतरण: आकृति को खिसकाना, पलटना, घुमाना और बड़ा करना – रूपांतरण किसी आकृति को नई जगह ले जाता है। स्थानांतरण उसे खिसकाता है, परावर्तन दर्पण रेखा में पलटता है, घूर्णन एक केंद्र के चारों ओर घुमाता है, और आवर्धन माप बदलता है। पहले तीन में माप और आकार वही रहते हैं (सर्वांगसम प्रतिबिंब)। आवर्धन में आकार वही, माप बदलता है (समरूप प्रतिबिंब)। हर एक का आसान निर्देशांक नियम है।
समरूप त्रिभुज – दो आकृतियाँ समरूप होती हैं जब उनका आकार (shape) एक जैसा हो, भले नाप अलग हो। दो त्रिभुज समरूप हैं अगर उनके संगत कोण बराबर हों और संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों। आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT): त्रिभुज की एक भुजा के समांतर रेखा बाकी दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है; इसका विलोम भी सही है। समरूपता AA, SSS या SAS से सिद्ध होती है।

6. Geometric quantities

Area formulas for a triangle

क्षेत्रफल और परिमाप: हीरोन का सूत्र, वृत्त और त्रिज्यखंड – परिमाप यानी किनारे की कुल लंबाई। क्षेत्रफल यानी अंदर की जगह। जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ पता हों, तो हीरोन का सूत्र बिना ऊँचाई के क्षेत्रफल दे देता है। जिस चतुर्भुज के चारों कोने एक वृत्त पर हों, उसके लिए ब्रह्मगुप्त का सूत्र है। वृत्त का किनारा व्यास का π गुना होता है, और त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का एक भाग होता है।

7. Geometry problems for studying real processes

Practical geometry problems

गणितीय निदर्शन: गणित से असली दुनिया को समझना – गणितीय मॉडल (mathematical model) एक समीकरण, ग्राफ़ या तालिका है जो किसी असली स्थिति को सरल तरीके से बताती है। मॉडलिंग चक्र: असली समस्या समझो → चर चुनो और मान्यताएँ बनाओ → मॉडल बनाओ (जैसे रैखिक, द्विघात या चरघातांकी) → हल करो और अनुमान लगाओ → असली आँकड़ों से जाँचो → मॉडल सुधारो या उसकी सीमा बताओ। कोई मॉडल पूरी तरह सही नहीं होता; अच्छा मॉडल सरल होता है और काम लायक सही होता है।