ज्या नियम क्या है?
त्रिभुज ABC लो। कोण A के सामने वाली भुजा a, कोण B के सामने b, और कोण C के सामने c कहलाती है।
ज्या नियम (sine rule) कहता है:
a / sin A = b / sin B = c / sin C
हर भिन्न को उलट भी सकते हो: sin A / a = sin B / b = sin C / c। कोण निकालना हो तो यही रूप आसान है।
यह हर त्रिभुज में चलता है: न्यूनकोण, समकोण या अधिककोण। अगर C = 90° हो, तो sin C = 1, और नियम बन जाता है sin A = a / c — वही अनुपात जो तुम पहले से जानते हो।
यह सही क्यों है: ऊँचाई से प्रमाण
C से भुजा AB पर एक लंब (ऊँचाई) h गिराओ।
- बाएँ समकोण त्रिभुज में sin A = h / b, तो h = b sin A।
- दाएँ समकोण त्रिभुज में sin B = h / a, तो h = a sin B।
दोनों एक ही ऊँचाई हैं, तो b sin A = a sin B। दोनों ओर sin A sin B से भाग दो: a / sin A = b / sin B। A से ऊँचाई गिराकर इसी तरह b / sin B = c / sin C मिलता है।
साझा अनुपात 2R है
A, B, C से जाने वाला वृत्त परिवृत्त (circumcircle) कहलाता है, त्रिज्या R। हर अनुपात इसके व्यास के बराबर है: a / sin A = 2R।
क्षेत्रफल से संबंध
क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई = ½ × c × (b sin A) = ½ bc sin A।
ज्या नियम से त्रिभुज हल करना (AAS और ASA)
त्रिभुज हल करना मतलब तीनों भुजाएँ और तीनों कोण निकालना।
- दो कोण पता हैं तो तीसरा निकालो: A + B + C = 180°।
- ऐसी जोड़ी चुनो जो पूरी पता हो (भुजा और उसके सामने का कोण)।
- उस जोड़ी की भिन्न और जिस भुजा को खोजना है उसकी भिन्न बराबर रखो। वज्र-गुणन करो।
उदाहरण: A = 40°, B = 60°, c = 10 सेमी। C = 80°, a = 10 × sin 40° ÷ sin 80° ≈ 6.53 सेमी, b = 10 × sin 60° ÷ sin 80° ≈ 8.79 सेमी।
जाँच: सबसे बड़ा कोण (80°) सबसे बड़ी भुजा (10 सेमी) के सामने है।
अस्पष्ट स्थिति (SSA)
दो भुजाएँ और ऐसा कोण पता हो जो उनके बीच न हो, तो उत्तर एक से ज़्यादा हो सकता है। मान लो A, a और b पता हैं। sin B = b sin A / a निकालो।
- sin B > 1: कोई त्रिभुज नहीं। भुजा a आधार तक पहुँचती ही नहीं।
- sin B = 1: एक समकोण त्रिभुज।
- sin B < 1: B न्यूनकोण B₁ भी हो सकता है और अधिककोण 180° − B₁ भी। अधिककोण तभी रखो जब A + (180° − B₁) < 180° हो। अगर a ≥ b है तो सिर्फ़ न्यूनकोण वाला चलेगा।
3D में भुजा a दरवाज़े की तरह घूमती है और आधार को दो जगह छूती है — इसीलिए दो त्रिभुज।
परीक्षा के सुझाव और उपयोग
- पूरी जोड़ी (भुजा + सामने का कोण) हो तो ज्या नियम। SAS या SSS हो तो कोज्या नियम।
- कैलकुलेटर डिग्री मोड में रखो।
- बीच में जल्दी पूर्णांक मत बनाओ, आख़िरी पंक्ति तक 3–4 दशमलव रखो।
- उपयोग: भूमि सर्वेक्षण, नौवहन, मीनार और पहाड़ की ऊँचाई, खगोलशास्त्र, GPS।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
- sin A / a = sin B / b = sin C / c (कोण निकालने के लिए)
- A + B + C = 180°
- क्षेत्रफल = ½ bc sin A = ½ ca sin B = ½ ab sin C
- SSA जाँच: sin B = b sin A / a (>1 कोई नहीं, =1 एक समकोण, <1 शायद दो)
हल किए गए उदाहरण
1. त्रिभुज ABC में A = 30°, B = 45°, a = 8 सेमी। b निकालो।
b / sin 45° = 8 / sin 30°। b = 8 × 0.7071 ÷ 0.5 ≈ 11.31 सेमी।
2. A = 40°, B = 60°, c = 10 सेमी। त्रिभुज हल करो।
C = 180° − 40° − 60° = 80°। a = 10 sin 40° ÷ sin 80° = 6.428 ÷ 0.9848 ≈ 6.53 सेमी। b = 10 sin 60° ÷ sin 80° = 8.660 ÷ 0.9848 ≈ 8.79 सेमी।
3. a = 12, b = 9, A = 70°। B निकालो।
sin B = 9 × 0.9397 ÷ 12 ≈ 0.7048, B ≈ 44.8°। अधिककोण 135.2° बहुत बड़ा है (70° + 135.2° > 180°), तो एक ही त्रिभुज।
4. A = 30°, a = 6, b = 10। कितने त्रिभुज? B निकालो।
sin B = 10 × 0.5 ÷ 6 ≈ 0.8333। B₁ ≈ 56.4° या B₂ ≈ 123.6°। दोनों A = 30° के साथ चलते हैं, तो दो त्रिभुज।
5. A = 50°, a = 5, b = 10। कितने त्रिभुज?
sin B = 10 × 0.766 ÷ 5 = 1.532। sin का मान 1 से ज़्यादा नहीं हो सकता, तो कोई त्रिभुज नहीं।
6. नदी के किनारे P और Q 100 मीटर दूर हैं। उस पार पेड़ T है। कोण TPQ = 60°, कोण TQP = 70°। PT निकालो।
कोण T = 50°। PT कोण Q के सामने है, PQ कोण T के सामने। PT = 100 × sin 70° ÷ sin 50° = 93.97 ÷ 0.766 ≈ 122.7 मीटर।
7. a = 7 सेमी और A = 30° है। परिवृत्त की त्रिज्या R निकालो।
a / sin A = 2R। 7 / 0.5 = 14 = 2R, तो R = 7 सेमी।
आम गलतियाँ
- भुजा को ग़लत कोण से जोड़ना। भुजा a हमेशा कोण A के सामने वाली है, उसे छूने वाली नहीं।
- SSA में दूसरा उत्तर भूल जाना: sin B = 0.8 से B ≈ 53.1° या 126.9°। दोनों जाँचो।
- कैलकुलेटर रेडियन मोड में होना: sin 30 का मान 0.5 की जगह −0.988 आ जाएगा।
- SAS या SSS में ज्या नियम लगाना। पूरी जोड़ी न हो तो कोज्या नियम से शुरू करो।