Ontario Grade 12 MAP4C Foundations for College Mathematics (Grade 12, College Preparation)
अध्याय: 4
1. A. Mathematical Models
1 Solving Exponential Equations · 2 Modelling Graphically · 3 Modelling Algebraically
- घातांकी फलन (Exponential Functions) – घातांकी फलन का रूप y = a·bˣ है, जहाँ a ≠ 0 शुरुआती मान है और b > 0, b ≠ 1 वृद्धि-गुणक (आधार) है। b > 1 हो तो बढ़ता है, 0 < b < 1 हो तो घटता (क्षय) है। x में 1 बढ़ने पर y को b से गुणा किया जाता है (स्थिर अनुपात), जबकि रैखिक फलन में हर बार एक ही संख्या जुड़ती है। y = bˣ का ग्राफ (0, 1) से गुज़रता है, प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ, परिसर y > 0, और x-अक्ष अनंतस्पर्शी है। सामान्य रूप y = a·b^(k(x − d)) + c इसे खींचता, पलटता और खिसकाता है।
- गणितीय निदर्शन: गणित से असली दुनिया को समझना – गणितीय मॉडल (mathematical model) एक समीकरण, ग्राफ़ या तालिका है जो किसी असली स्थिति को सरल तरीके से बताती है। मॉडलिंग चक्र: असली समस्या समझो → चर चुनो और मान्यताएँ बनाओ → मॉडल बनाओ (जैसे रैखिक, द्विघात या चरघातांकी) → हल करो और अनुमान लगाओ → असली आँकड़ों से जाँचो → मॉडल सुधारो या उसकी सीमा बताओ। कोई मॉडल पूरी तरह सही नहीं होता; अच्छा मॉडल सरल होता है और काम लायक सही होता है।
2. B. Personal Finance
1 Understanding Annuities · 2 Renting or Owning Accommodation · 3 Designing Budgets
- वार्षिकी (Annuity) और मॉर्टगेज – वार्षिकी (annuity) बराबर समय के अंतर पर दी गई बराबर रकम की किस्तों की श्रृंखला है। मॉर्टगेज घर या ज़मीन खरीदने का बड़ा ऋण है, जिसे वार्षिकी की तरह किस्तों में चुकाया जाता है। हर किस्त के दो हिस्से होते हैं: ब्याज (उधार की कीमत) और मूलधन (जो ऋण घटाता है)। शुरू में किस्त का ज़्यादातर हिस्सा ब्याज होता है, बाद में ज़्यादातर मूलधन। परिशोधन तालिका (amortization table) हर किस्त का ब्याज, मूलधन और बचा बकाया दिखाती है। किस्त PMT = PV × i ÷ (1 − (1 + i)^−n)। ऊँची दर, लंबी अवधि या साल में कम किस्तें, तीनों कुल ब्याज बढ़ाते हैं।
- उपभोक्ता गणित: कमाना, ख़रीदना और यात्रा करना – उपभोक्ता गणित रोज़ के पैसों का गणित है। सकल वेतन पूरी कमाई है: घंटे की मज़दूरी (घंटे × दर), तय वेतन, कमीशन (बिक्री का %), नग के हिसाब से, टिप, बोनस और ओवरटाइम (अक्सर 1.5 × दर)। आयकर, पेंशन और बीमा जैसी कटौतियाँ कटने के बाद शुद्ध वेतन (हाथ में आने वाला) बचता है। ख़रीदते समय पहले छूट, फिर बिक्री कर (GST या VAT): दाम × (1 − d) × (1 + t)। इकाई दाम = दाम ÷ मात्रा, इससे पैकों की तुलना होती है। छुट्टा देने के लिए ऊपर गिनो। कार में ईंधन (दूरी × लीटर प्रति 100 किमी ÷ 100 × दाम), बीमा (नए चालकों के लिए ज़्यादा), लाइसेंस, क़र्ज़, मरम्मत और पार्किंग का ख़र्च है; हर यात्रा के लिए बस, ट्रेन या हवाई जहाज़ से तुलना करो।
- वित्त प्रबंधन के स्मार्ट तरीके – मुद्रास्फीति से कीमतें बढ़ती हैं, इसलिए उतना ही पैसा कम खरीदता है। बैंक में रखे पैसे पर ब्याज मिलता है: साधारण ब्याज सिर्फ़ मूलधन पर मिलता है, जबकि चक्रवृद्धि ब्याज पहले के ब्याज पर भी मिलता है, इसलिए समय के साथ तेज़ी से बढ़ता है। बजट आय को ज़रूरतों, चाहतों और बचत में बाँटता है। बचत सुरक्षित रखी जाती है; निवेश बढ़ सकता है पर उसमें जोखिम है, और ज़्यादा संभावित लाभ का मतलब ज़्यादा जोखिम। बीमा जोखिम को बहुत लोगों में बाँटता है। एक सीमा से ऊपर की आय पर आयकर लगता है, जिसकी दरें आय के साथ बढ़ती हैं।
3. C. Geometry and Trigonometry
1 Solving Problems Involving Measurement and Geometry · 2 Investigating Optimal Dimensions · 3 Solving Problems Involving Trigonometry
- घनाभ, बेलन, शंकु, पिरामिड और गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन – पृष्ठीय क्षेत्रफल किसी ठोस की बाहरी सतह का कुल क्षेत्रफल है — जैसे उसे लपेटने के लिए कितना कागज़ लगेगा। आयतन अंदर की जगह है — जैसे उसमें कितना पानी आएगा। घनाभ का आयतन = उसमें आने वाले 1 सेमी के घनों की गिनती। शंकु में उसी आधार और ऊँचाई वाले बेलन का एक-तिहाई आता है, और पिरामिड में अपने प्रिज़्म का एक-तिहाई।
- ज्या नियम (Law of Sines) – किसी भी त्रिभुज में हर भुजा को उसके सामने वाले कोण के sin से भाग दो, तो एक ही संख्या मिलती है: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R। यहाँ R उस वृत्त की त्रिज्या है जो तीनों शीर्षों से होकर जाता है। जब दो कोण और एक भुजा पता हो (AAS, ASA), या दो भुजाएँ और ऐसा कोण जो उनके बीच न हो (SSA), तब यह नियम लगाओ। SSA में दो, एक या शून्य त्रिभुज बन सकते हैं।
4. D. Data Management
1 Working With Two-Variable Data · 2 Applying Data Management
- सहसंबंध: प्रकीर्ण आरेख, कार्ल पियर्सन गुणांक और स्पीयरमैन कोटि सहसंबंध – सहसंबंध बताता है कि दो चर साथ-साथ कैसे बदलते हैं। दोनों साथ बढ़ें तो धनात्मक, एक बढ़े और दूसरा घटे तो ऋणात्मक, और कोई सीधा पैटर्न न हो तो शून्य। प्रकीर्ण आरेख इसे चित्र में दिखाता है। कार्ल पियर्सन का गुणांक r दिशा और ताक़त नापता है और हमेशा −1 से +1 के बीच रहता है। स्पीयरमैन का कोटि सहसंबंध R कोटियों (रैंक) से चलता है और सुंदरता या ईमानदारी जैसे गुणों पर भी काम करता है; समान कोटियों में छोटा सुधार जोड़ते हैं।
- डेटा विश्लेषण – डेटा विश्लेषण यानी कच्चे आँकड़ों को जवाब में बदलना। इसका एक चक्र है: सवाल पूछो, डेटा इकट्ठा करो, साफ़ करो (ग़लती, दोहराव और खाली जवाब हटाओ), व्यवस्थित करो, माध्य, माध्यिका, परास और पैटर्न से विश्लेषण करो, सही चार्ट बनाओ और सावधानी से निष्कर्ष निकालो। बाहरी मान, छोटे नमूने और पक्षपात पर नज़र रखो, और याद रखो कि दो चीज़ों का साथ बढ़ना (सहसंबंध) यह साबित नहीं करता कि एक दूसरे का कारण है। डेटा को सुरक्षित रखना और अनुमति से इस्तेमाल करना भी ज़रूरी है।