पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन का मतलब
पृष्ठीय क्षेत्रफल = सभी बाहरी फलकों का कुल क्षेत्रफल। मात्रक: सेमी² या मी²। आयतन = अंदर की जगह। मात्रक: सेमी³ या मी³। 1 लीटर = 1000 सेमी³ और 1 मी³ = 1000 लीटर।
वक्र (या पार्श्व) पृष्ठीय क्षेत्रफल = सिर्फ बगल वाली सतह, ऊपर-नीचे के बिना। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = बाहर का सब कुछ।
घनाभ और घन
घनाभ की लंबाई l, चौड़ाई b और ऊँचाई h है। इसके 6 आयताकार फलक हैं, 3 बराबर जोड़ियों में।
- कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
- पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (4 दीवारें) = 2h(l + b)
- आयतन = l × b × h
घन वह घनाभ है जिसकी हर भुजा a है: कुल पृष्ठ = 6a², पार्श्व = 4a², आयतन = a³।
बेलन
बेलन के दो सिरे वृत्त हैं (त्रिज्या r) और ऊँचाई h है। इसकी बगल को खोलो तो 2πr × h का आयत बनता है।
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
- कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh + 2πr² = 2πr(r + h)
- आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई = πr²h
शंकु
लंब वृत्तीय शंकु का आधार वृत्त है (त्रिज्या r), ऊँचाई h (शीर्ष से सीधे आधार के केंद्र तक) और तिर्यक ऊँचाई l (शीर्ष से आधार के किनारे तक)। पाइथागोरस से l = √(r² + h²)।
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
- कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl + πr² = πr(l + r)
- आयतन = ⅓πr²h (बेलन का एक-तिहाई)
पिरामिड
पिरामिड का आधार एक समतल बहुभुज होता है और त्रिभुजाकार फलक ऊपर एक शीर्ष पर मिलते हैं। वर्ग आधार वाले पिरामिड के लिए (आधार की भुजा a, ऊँचाई h):
- हर त्रिभुज फलक की तिर्यक ऊँचाई = √(h² + (a/2)²)
- पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × ½ × a × तिर्यक ऊँचाई
- कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = a² + पार्श्व पृष्ठ
- आयतन = ⅓ × आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई = ⅓a²h
यह ⅓ वाला नियम हर पिरामिड और शंकु पर लगता है।
गोला और अर्धगोला
गोला त्रिज्या r की एकदम गोल गेंद है। अर्धगोला आधी गेंद है।
- गोला: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr², आयतन = ⁴⁄₃πr³
- अर्धगोला: वक्र पृष्ठ = 2πr², कुल पृष्ठ = 3πr² (वक्र + समतल वृत्त), आयतन = ⅔πr³
ऊपर से खुले खोखले कटोरे में सिर्फ वक्र भाग 2πr² गिनते हैं।
बोर्ड परीक्षा में क्या आता है
CBSE कक्षा 9 (2026-27) में क्षेत्रमिति के 14 अंक हैं। आम प्रश्न: तंबू (शंकु) के लिए कपड़ा, दीवारें पेंट करने का खर्च (घनाभ का पार्श्व पृष्ठ), टंकी की क्षमता लीटर में, कटोरे (अर्धगोले) पर कलई का खर्च। पहले मात्रक एक जैसे करो और उत्तर में सेमी² या सेमी³ लिखो।
घर पर करके देखो
कागज़ से एक शंकु और एक बेलन बनाओ, दोनों का आधार और ऊँचाई बराबर। शंकु में चावल भरकर बेलन में डालो। गिनो कितनी बार डालना पड़ा — लगभग 3 बार। फिर जूस का खाली डिब्बा खोलकर सीधा करो, उसके छह फलक नापो और जोड़कर पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- घनाभ: कुल पृष्ठ = 2(lb + bh + hl), पार्श्व = 2h(l + b), आयतन = lbh
- घन: कुल पृष्ठ = 6a², पार्श्व = 4a², आयतन = a³
- बेलन: वक्र पृष्ठ = 2πrh, कुल पृष्ठ = 2πr(r + h), आयतन = πr²h
- शंकु: l = √(r² + h²), वक्र पृष्ठ = πrl, कुल पृष्ठ = πr(l + r), आयतन = ⅓πr²h
- पिरामिड: आयतन = ⅓ × आधार का क्षेत्रफल × h; वर्ग पिरामिड का कुल पृष्ठ = a² + 2a × तिर्यक ऊँचाई
- गोला: पृष्ठ = 4πr², आयतन = ⁴⁄₃πr³
- अर्धगोला: वक्र पृष्ठ = 2πr², कुल पृष्ठ = 3πr², आयतन = ⅔πr³
हल किए गए उदाहरण
1. एक डिब्बा 5 सेमी लंबा, 4 सेमी चौड़ा और 3 सेमी ऊँचा है। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन निकालो।
कुल पृष्ठ = 2(5×4 + 4×3 + 3×5) = 2(20 + 12 + 15) = 94 सेमी²। आयतन = 5 × 4 × 3 = 60 सेमी³।
2. एक घन की भुजा 6 सेमी है। पार्श्व पृष्ठ, कुल पृष्ठ और आयतन निकालो।
पार्श्व = 4 × 36 = 144 सेमी²। कुल = 6 × 36 = 216 सेमी²। आयतन = 6³ = 216 सेमी³।
3. एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है। वक्र पृष्ठ, कुल पृष्ठ और आयतन निकालो। (π = 22/7)
वक्र पृष्ठ = 2 × 22/7 × 7 × 10 = 440 सेमी²। दोनों सिरे = 2 × 22/7 × 49 = 308 सेमी²। कुल = 748 सेमी²। आयतन = 22/7 × 49 × 10 = 1540 सेमी³।
4. एक शंकु की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 24 सेमी है। तिर्यक ऊँचाई, वक्र पृष्ठ, कुल पृष्ठ और आयतन निकालो। (π = 22/7)
l = √(49 + 576) = √625 = 25 सेमी। वक्र पृष्ठ = 22/7 × 7 × 25 = 550 सेमी²। कुल = 550 + 154 = 704 सेमी²। आयतन = ⅓ × 22/7 × 49 × 24 = 1232 सेमी³।
5. एक वर्ग पिरामिड के आधार की भुजा 10 मी और ऊँचाई 12 मी है। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन निकालो।
तिर्यक ऊँचाई = √(12² + 5²) = 13 मी। हर त्रिभुज = ½ × 10 × 13 = 65 मी², चार फलक = 260 मी²। कुल = 100 + 260 = 360 मी²। आयतन = ⅓ × 100 × 12 = 400 मी³।
6. 7 सेमी त्रिज्या वाली गेंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन, और उसी त्रिज्या के ठोस अर्धगोले का कुल पृष्ठ निकालो। (π = 22/7)
गोला: 4 × 22/7 × 49 = 616 सेमी²; आयतन = ⁴⁄₃ × 22/7 × 343 ≈ 1437.33 सेमी³। अर्धगोले का कुल पृष्ठ = 3πr² = 3 × 154 = 462 सेमी²।
7. एक बेलनाकार टंकी की त्रिज्या 1.4 मी और ऊँचाई 2 मी है। इसमें कितने लीटर पानी आएगा? (π = 22/7)
आयतन = 22/7 × 1.96 × 2 = 12.32 मी³। 1 मी³ = 1000 लीटर, तो 12320 लीटर।
आम गलतियाँ
- शंकु के वक्र पृष्ठ πrl में तिर्यक ऊँचाई l की जगह ऊँचाई h रख देना।
- मात्रक मिला देना, जैसे त्रिज्या मी में और ऊँचाई सेमी में, या आयतन को सेमी² में लिखना।
- ठोस अर्धगोले के कुल पृष्ठ में समतल वृत्त भूल जाना (3πr² होता है, 2πr² नहीं)।
- शंकु या पिरामिड के आयतन में ⅓ भूल जाना।