आयतन क्या है? परतें और कावालिएरी का विचार
आयतन ठोस के अंदर की जगह है। इसे घन इकाइयों में गिनते हैं: सेमी³, मी³, लीटर (1 लीटर = 1000 सेमी³)।
ठोस को ब्रेड के स्लाइस की तरह बहुत पतली परतों में काटिए। हर परत का क्षेत्रफल और ऊँचाई पता हो तो सबको जोड़ सकते हैं। इतालवी गणितज्ञ कावालिएरी ने एक सीधी बात देखी: दो ठोसों की ऊँचाई बराबर हो और हर ऊँचाई पर उनकी परतों का क्षेत्रफल बराबर हो, तो उनके आयतन बराबर होते हैं। इसीलिए सिक्कों का तिरछा ढेर और सीधा ढेर, दोनों का आयतन बराबर है।
प्रिज़्म और बेलन: आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई
प्रिज़्म में दो बराबर समान्तर फलक (आधार) होते हैं, जो आयतों से जुड़े रहते हैं। आधार के समान्तर हर परत आधार की ही प्रति है, इसलिए V = B × h, जहाँ B आधार का क्षेत्रफल और h लंबवत ऊँचाई है। डिब्बे के लिए B = l × b।
बेलन के आधार गोल हैं, इसलिए B = πr² और V = πr²h। तिरछे प्रिज़्म या बेलन के लिए भी V = B × h ही है, पर h सीधी ऊपर-नीचे की ऊँचाई होनी चाहिए, तिरछा किनारा नहीं।
पिरामिड और शंकु: एक तिहाई क्यों?
पिरामिड का एक आधार होता है और त्रिभुजाकार फलक एक बिंदु (शीर्ष) पर मिलते हैं। शंकु उसका गोल रूप है। एक पिरामिड और एक प्रिज़्म लीजिए जिनका आधार और ऊँचाई बराबर हो। आधार से ऊँचाई t पर पिरामिड की परत आधार की छोटी प्रति है, जिसका माप (1 − t/h) गुना है। उसका क्षेत्रफल B(1 − t/h)² है। सब परतें जोड़ने पर ठीक ⅓ B h मिलता है। (घन को एक कोने पर मिलते 3 बराबर पिरामिडों में काटा जा सकता है। यह बिना कलन के तिहाई दिखा देता है।)
इसलिए पिरामिड: V = ⅓ × B × h और शंकु: V = ⅓πr²h। यहाँ h लंबवत ऊँचाई है, तिर्यक ऊँचाई l नहीं। l दी हो तो पहले h = √(l² − r²) निकालिए।
गोला (ठोस गेंद): V = (4/3)πr³
गोला (sphere) सतह है और ठोस गेंद (ball) उसके अंदर का ठोस। r त्रिज्या की गेंद को r त्रिज्या और 2r ऊँचाई वाले बेलन में रखिए। बेलन के अंदर दो शंकु भी रखिए, जिनके नोक केंद्र पर मिलते हैं। केंद्र से ऊँचाई y पर बेलन की परत का क्षेत्रफल πr² है, गेंद की परत का π(r² − y²), और दोनों शंकुओं की परत का πy²। ये दोनों जुड़कर πr² बनते हैं, यानी हर ऊँचाई पर गेंद + शंकु = बेलन। कावालिएरी से आयतन भी इसी तरह जुड़ेंगे: बेलन = 2πr³, दोनों शंकु = 2πr³/3, इसलिए गेंद = 2πr³ − 2πr³/3 = (4/3)πr³। यह बेलन का ठीक 2/3 है। अर्धगोले का आयतन इसका आधा: (2/3)πr³।
गोलीय खंड (गेंद का कटा टुकड़ा)
गेंद को एक समतल से काटिए। छोटा टुकड़ा गोलीय खंड (एक आधार वाला) है। खंड की ऊँचाई k और गेंद की त्रिज्या r हो तो V = πk²(3r − k)/3। जाँच: k = 2r पर खंड पूरी गेंद है: π(4r²)(r)/3 = (4/3)πr³। k = r पर अर्धगोला: πr²(2r)/3 = (2/3)πr³।
खंड के चपटे फलक की त्रिज्या a है, जहाँ a² = k(2r − k)। दो समान्तर समतलों के बीच का खंड दो खंडों का अंतर है। 3D में गोलीय खंड चुनिए और ऊँचाई k खिसकाइए।
कौन-सा सूत्र लगाएँ: छोटी तालिका
- प्रिज़्म: V = B·h
- बेलन: V = πr²h
- पिरामिड: V = ⅓·B·h
- शंकु: V = ⅓πr²h
- गेंद: V = (4/3)πr³
- खंड: V = πk²(3r − k)/3
गुणा करने से पहले देख लीजिए कि सारी लंबाइयाँ एक ही इकाई में हैं। उत्तर घन इकाई में लिखिए।
करके देखिए: चावल की जाँच
एक काग़ज़ का शंकु और एक काग़ज़ का बेलन बनाइए, चौड़ाई और ऊँचाई एक जैसी। शंकु में चावल भरिए और बेलन में उलटिए। तीन बार कीजिए: बेलन भर जाएगा। पहले अनुमान लगाइए कि कितने शंकु चावल से बेलन भरेगा, फिर जाँचिए। आपने तिहाई खुद नाप लिया।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- प्रिज़्म: V = B × h
- बेलन: V = πr²h
- पिरामिड: V = ⅓ × B × h
- शंकु: V = ⅓πr²h, जहाँ h = √(l² − r²)
- गेंद: V = (4/3)πr³; अर्धगोला = (2/3)πr³
- k ऊँचाई का गोलीय खंड: V = πk²(3r − k)/3
- कावालिएरी: ऊँचाई और हर ऊँचाई पर परत का क्षेत्रफल बराबर तो आयतन बराबर
हल किए गए उदाहरण
1. एक चौकोर प्रिज़्म के आधार की भुजा 4 सेमी और ऊँचाई 9 सेमी है। आयतन निकालिए।
B = 4 × 4 = 16 सेमी²। V = B × h = 16 × 9 = 144 सेमी³।
2. एक बेलनाकार टंकी में r = 7 मी और h = 10 मी है। आयतन निकालिए (π = 22/7)।
V = πr²h = (22/7) × 49 × 10 = 22 × 7 × 10 = 1540 मी³। यानी 15,40,000 लीटर।
3. एक पिरामिड के चौकोर आधार की भुजा 6 सेमी और ऊँचाई 8 सेमी है। आयतन निकालिए।
B = 36 सेमी²। V = ⅓ × 36 × 8 = 96 सेमी³।
4. एक शंकु की आधार त्रिज्या 3 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 5 सेमी है। आयतन निकालिए।
h = √(5² − 3²) = 4 सेमी। V = ⅓π × 9 × 4 = 12π ≈ 37.7 सेमी³।
5. 3 सेमी त्रिज्या की गेंद का आयतन निकालिए।
V = (4/3)π × 3³ = (4/3)π × 27 = 36π ≈ 113.1 सेमी³।
6. 5 सेमी त्रिज्या की गेंद से 2 सेमी ऊँचाई का गोलीय खंड काटा गया। उसका आयतन निकालिए।
V = πk²(3r − k)/3 = π × 4 × (15 − 2)/3 = 52π/3 ≈ 54.5 सेमी³।
7. 6 सेमी त्रिज्या की धातु की गेंद को पिघलाकर 3 सेमी त्रिज्या और 4 सेमी ऊँचाई के छोटे शंकु बनाए गए। कितने शंकु बने?
गेंद: (4/3)π × 216 = 288π सेमी³। एक शंकु: ⅓π × 9 × 4 = 12π सेमी³। संख्या = 288π ÷ 12π = 24 शंकु (पिघलाने पर आयतन नहीं बदलता)।
आम गलतियाँ
- शंकु और पिरामिड के सूत्र में लंबवत ऊँचाई h की जगह तिर्यक ऊँचाई l लगा देना।
- शंकु और पिरामिड में ⅓ भूल जाना, या बेलन में ⅓ लगा देना।
- गेंद के लिए (4/3)πr² लिखना। आयतन में r³ आता है (तीन लंबाइयों का गुणा), r² नहीं।
- इकाइयाँ मिला देना, जैसे त्रिज्या सेमी में और ऊँचाई मीटर में, और उत्तर सेमी² में लिखना, जबकि वह सेमी³ होना चाहिए।