होमोथेटी: एक बिंदु से माप बदलना
एक बिंदु O (केंद्र) और एक संख्या k (अनुपात) चुनिए। होमोथेटी हर बिंदु P को किरण OP पर ऐसे बिंदु P′ पर भेजती है कि OP′ = k × OP। k = 2 हो तो हर बिंदु O से दोगुना दूर, k = ½ हो तो हर बिंदु O की ओर आधा पास। k ऋणात्मक हो तो P′ O के दूसरी ओर जाता है।
दो चीज़ें कभी नहीं बदलतीं: कोण और आकार। समान्तर रेखाएँ समान्तर रहती हैं। इसलिए प्रतिबिंब मूल का समरूप है। दो ठोस समरूप तब हैं जब एक दूसरे का होमोथेटी-प्रतिबिंब हो, और उसे माप बदले बिना घुमाया या पलटा भी जा सके।
माप बदलने पर लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन
अनुपात k हो (k > 0 लें):
- हर लंबाई (किनारा, ऊँचाई, त्रिज्या, तिर्यक ऊँचाई) k गुनी हो जाती है।
- हर पृष्ठ क्षेत्रफल k² गुना हो जाता है, क्योंकि क्षेत्रफल दो लंबाइयों का गुणनफल है।
- हर आयतन k³ गुना हो जाता है, क्योंकि आयतन तीन लंबाइयों का गुणनफल है।
घन से जाँच: भुजा a → ka। क्षेत्रफल 6a² → 6k²a²। आयतन a³ → k³a³। ध्यान दें कि आकृति न पता हो तब भी अनुपात काम करता है: दो समरूप ठोसों की लंबाइयाँ m : n के अनुपात में हों तो क्षेत्रफल m² : n² में और आयतन m³ : n³ में होते हैं।
आम ठोसों के पृष्ठ क्षेत्रफल के सूत्र
पृष्ठ क्षेत्रफल बाहरी सतह का कुल क्षेत्रफल है। जाल (net) खोलकर देखना आसान होता है।
- प्रिज़्म: 2 × आधार क्षेत्रफल + आधार का परिमाप × ऊँचाई (बगल खोलने पर आयत बनता है)।
- बेलन: वक्र पृष्ठ 2πrh + दो आधार 2πr², कुल 2πr(h + r)।
- शंकु: वक्र पृष्ठ πrl (l = तिर्यक ऊँचाई = √(r² + h²)) + आधार πr², कुल πr(l + r)।
- गोला: 4πr² (अपने बड़े वृत्त का ठीक चार गुना)।
- सम पिरामिड: आधार क्षेत्रफल + ½ × परिमाप × फलक की तिर्यक ऊँचाई।
हर सूत्र दो लंबाइयों के गुणन से बना है, इसलिए माप बदलने पर सब k² गुना हो जाते हैं।
शंकु या पिरामिड को काटना: एक समरूप टुकड़ा
शंकु या पिरामिड को आधार के समान्तर समतल से काटिए। ऊपर का टुकड़ा पूरे का छोटा समरूप शंकु या पिरामिड है, जिसका केंद्र O शीर्ष पर है। यदि कट शीर्ष से ऊँचाई के k भाग पर है, तो छोटे ठोस की सारी लंबाइयाँ × k, पृष्ठ क्षेत्रफल × k², आयतन × k³। k = ½ पर ऊपर वाले का आयतन ⅛ है, इसलिए नीचे वाले भाग (छिन्नक) का ⅞।
समरूपता के सवाल कैसे हल करें
- दो संगत लंबाइयों का अनुपात निकालिए। यही k है।
- क्षेत्रफल के लिए k², आयतन के लिए k³ लीजिए।
- क्षेत्रफल या आयतन दिए हों तो k वापस पाने के लिए वर्गमूल या घनमूल लीजिए: k = √(क्षेत्रफल अनुपात) = ∛(आयतन अनुपात)।
- इकाई जाँचिए: सेमी → सेमी² → सेमी³।
सावधान: आयतनों का अनुपात लंबाइयों के अनुपात जैसा नहीं होता। इन्हें मिला देना सबसे आम गलती है।
करके देखिए: चीनी के घन
8 छोटे चीनी के घन (या पासे) लीजिए। 2 × 2 × 2 का बड़ा घन बनाइए। एक फलक पर वर्ग गिनिए (4) और अंदर के घन (8)। अब अनुमान लगाइए: 3 × 3 × 3 घन में एक फलक पर कितने वर्ग और कुल कितने घन होंगे? 3D में k = 3 करके जाँचिए।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- होमोथेटी: OP′ = k · OP
- लंबाई × k, क्षेत्रफल × k², आयतन × k³
- लंबाइयों का अनुपात m : n तो क्षेत्रफल m² : n² और आयतन m³ : n³
- बेलन: S = 2πr(h + r), V = πr²h
- शंकु: S = πr(l + r), l = √(r² + h²), V = ⅓πr²h
- गोला: S = 4πr², V = (4/3)πr³
- आधार के समान्तर कट, शीर्ष से ऊँचाई के भाग k पर: छोटा आयतन = k³ × पूरा
हल किए गए उदाहरण
1. एक घन की भुजा 3 सेमी है। उसे k = 2 से बड़ा किया गया। नया पृष्ठ क्षेत्रफल और आयतन निकालिए।
मूल S = 6 × 9 = 54 सेमी², V = 27 सेमी³। नया S = 54 × 4 = 216 सेमी²। नया V = 27 × 8 = 216 सेमी³।
2. दो समरूप शंकुओं की ऊँचाइयाँ 6 सेमी और 9 सेमी हैं। छोटे का आयतन 40 सेमी³ है। बड़े का आयतन निकालिए।
k = 9/6 = 1.5। आयतन × k³ = 40 × 3.375 = 135 सेमी³।
3. 3 सेमी त्रिज्या के गोले को k = 2 से बड़ा किया गया। नया पृष्ठ क्षेत्रफल निकालिए।
नई त्रिज्या = 6 सेमी। S = 4π × 36 = 144π सेमी²। (जाँच: मूल 36π × 4 = 144π।)
4. एक शंकु में r = 3 सेमी और l = 5 सेमी है। उसका कुल पृष्ठ क्षेत्रफल और स्केल गुणक 3 वाले समरूप शंकु का क्षेत्रफल निकालिए।
S = πr(l + r) = π × 3 × 8 = 24π सेमी²। समरूप शंकु: 24π × 9 = 216π सेमी²।
5. 240 सेमी³ आयतन के शंकु को आधार के समान्तर समतल से ऊँचाई के आधे पर काटा गया। ऊपर वाले शंकु और छिन्नक का आयतन निकालिए।
k = ½, इसलिए ऊपर का शंकु = 240 × ⅛ = 30 सेमी³। छिन्नक = 240 − 30 = 210 सेमी³।
6. दो समरूप ठोसों के आयतनों का अनुपात 8 : 27 है। उनके पृष्ठ क्षेत्रफलों का अनुपात निकालिए।
k = ∛(8/27) = 2/3। क्षेत्रफल अनुपात = k² = 4/9, यानी 4 : 9।
7. एक मूर्ति के 1 : 20 के मॉडल पर 0.5 मी² में रंग लगता है। असली मूर्ति का पृष्ठ क्षेत्रफल कितना है, और उसका आयतन कितने गुना बड़ा है?
k = 20। क्षेत्रफल = 0.5 × 400 = 200 मी²। आयतन 20³ = 8000 गुना बड़ा है।
आम गलतियाँ
- क्षेत्रफल को k² की जगह k से गुणा करना। भुजाएँ दोगुनी हों तो क्षेत्रफल चार गुना होता है।
- आयतन के लिए लंबाइयों का अनुपात लगा देना। आयतन में k³ आता है।
- वक्र पृष्ठ के सूत्र πrl में तिर्यक ऊँचाई l की जगह ऊँचाई h लगा देना।
- आयतन दिए हों और लंबाई पूछी हो तब घनमूल लेना भूल जाना (k = ∛(आयतन अनुपात))।