समरूप आकृतियाँ
समरूप आकृतियों का आकार एक जैसा होता है, नाप अलग हो सकता है। सर्वांगसम आकृतियों का आकार और नाप दोनों एक जैसे होते हैं। इसलिए हर सर्वांगसम जोड़ी समरूप भी है, पर हर समरूप जोड़ी सर्वांगसम नहीं।
सभी वृत्त समरूप हैं। सभी वर्ग समरूप हैं। सभी समबाहु त्रिभुज समरूप हैं। पर दो आयत ज़रूरी नहीं कि समरूप हों: लंबा-पतला और चौड़ा आयत अलग आकार के हैं।
दो बहुभुज कब समरूप हैं?
बराबर भुजाओं वाले दो बहुभुज समरूप हैं जब (1) संगत कोण बराबर हों और (2) संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों। दोनों शर्तें चाहिए। एक ही भुजा वाले वर्ग और समचतुर्भुज में भुजाओं का अनुपात बराबर है पर कोण अलग हैं, इसलिए वे समरूप नहीं।
समरूप त्रिभुज
ΔABC, ΔPQR के समरूप है (लिखते हैं ΔABC ~ ΔPQR) जब ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R और
AB/PQ = BC/QR = CA/RP
अक्षरों का क्रम ज़रूरी है। A का साथी P, B का Q, C का R। संगत अक्षर हमेशा एक ही क्रम में लिखो।
यह साझा अनुपात पैमाना गुणक (scale factor) कहलाता है। यह 2 हो तो बड़े त्रिभुज की हर भुजा छोटे की संगत भुजा की 2 गुना है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT)
कथन: अगर त्रिभुज की एक भुजा के समांतर एक रेखा खींची जाए जो बाकी दो भुजाओं को दो अलग बिंदुओं पर काटे, तो वह उन दोनों भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है।
ΔABC में DE ∥ BC हो, D भुजा AB पर और E भुजा AC पर, तो AD/DB = AE/EC। (इसे थेल्स प्रमेय भी कहते हैं।)
उपपत्ति (आसान शब्दों में)
- BE और CD मिलाओ। लंब DM ⟂ AC और EN ⟂ AB खींचो।
- ar(ADE) = ½ × AD × EN और ar(BDE) = ½ × DB × EN। तो ar(ADE)/ar(BDE) = AD/DB।
- इसी तरह ar(ADE)/ar(DEC) = AE/EC।
- ΔBDE और ΔDEC एक ही आधार DE पर और एक ही समांतर रेखाओं DE, BC के बीच हैं, इसलिए उनके क्षेत्रफल बराबर हैं।
- अतः AD/DB = AE/EC।
दूसरे उपयोगी रूप: AD/AB = AE/AC और DB/AB = EC/AC।
BPT का विलोम
अगर कोई रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है। 3D में जब AE : EC, AD : DB के बराबर होता है, DE हरी (समांतर) हो जाती है।
समरूपता की कसौटियाँ: AA, SSS, SAS
सारे 6 तथ्य (3 कोण और 3 अनुपात) जाँचने की ज़रूरत नहीं। इनमें से एक कसौटी काफ़ी है:
- AAA / AA: एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे के दो कोणों के बराबर हों, तो त्रिभुज समरूप हैं। (तीसरा कोण अपने-आप बराबर हो जाता है, क्योंकि कोणों का जोड़ 180° है।)
- SSS: तीनों संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों, तो त्रिभुज समरूप हैं।
- SAS: एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे के एक कोण के बराबर हो, और उस कोण को बनाने वाली भुजाएँ एक ही अनुपात में हों, तो त्रिभुज समरूप हैं।
ध्यान दो: SAS में कोण दोनों भुजाओं के बीच का होना चाहिए।
खुद करके देखो (प्रयोग)
परछाईं प्रयोग: धूप में 30 cm का स्केल ज़मीन पर सीधा खड़ा करो और उसकी परछाईं नापो। उसी समय किसी खंभे या पेड़ की परछाईं नापो। स्केल/उसकी परछाईं = खंभा/उसकी परछाईं, क्योंकि सूरज की किरणें समरूप त्रिभुज बनाती हैं। खंभे की ऊँचाई निकालो।
कागज़ पर BPT: कोई त्रिभुज बनाओ। सेट-स्क्वेयर से एक भुजा के समांतर रेखा खींचो। बाकी दो भुजाओं के चारों टुकड़े नापो और भाग दो। दोनों अनुपात लगभग बराबर आएँगे।
3D में: आखिरी स्टेप पर स्थिति 3 के लिए AD : DB का अंदाज़ा लगाओ, फिर स्लाइडर खिसकाकर जाँचो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- ΔABC ~ ΔPQR ⇔ ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R और AB/PQ = BC/QR = CA/RP
- BPT: DE ∥ BC ⇒ AD/DB = AE/EC (और AD/AB = AE/AC)
- BPT का विलोम: AD/DB = AE/EC ⇒ DE ∥ BC
- AA: दो जोड़ी कोण बराबर ⇒ समरूप
- SSS: AB/PQ = BC/QR = CA/RP ⇒ समरूप
- SAS: ∠A = ∠P और AB/PQ = AC/PR ⇒ समरूप
हल किए गए उदाहरण
1. ΔABC ~ ΔPQR, AB = 4, BC = 6, CA = 5 और PQ = 8। QR और RP निकालो।
पैमाना गुणक = PQ/AB = 8/4 = 2। QR = 2 × 6 = 12। RP = 2 × 5 = 10।
2. ΔABC में DE ∥ BC, AD = 2 cm, DB = 3 cm, AE = 4 cm। EC निकालो।
BPT से AD/DB = AE/EC। 2/3 = 4/EC। EC = 4 × 3 ÷ 2 = 6 cm।
3. ΔABC में AB और AC पर D, E हैं; AD = 3, DB = 6, AE = 2, EC = 4। क्या DE ∥ BC?
AD/DB = 3/6 = 1/2। AE/EC = 2/4 = 1/2। अनुपात बराबर हैं, इसलिए BPT के विलोम से DE ∥ BC।
4. दो त्रिभुजों के कोण 50°, 60°, 70° और 60°, 70°, 50° हैं। क्या वे समरूप हैं?
हाँ। कोण आपस में मिलते हैं, इसलिए AA से समरूप हैं।
5. ΔABC की भुजाएँ 3, 4, 6 और ΔPQR की 9, 12, 18 हैं। क्या वे समरूप हैं?
9/3 = 3, 12/4 = 3, 18/6 = 3। सभी अनुपात बराबर, इसलिए SSS से समरूप।
6. 1.5 m लंबी लड़की की परछाईं 2 m है। उसी समय एक खंभे की परछाईं 12 m है। खंभे की ऊँचाई निकालो।
सूरज की किरणें एक ही कोण बनाती हैं और दोनों सीधे खड़े हैं, इसलिए त्रिभुज समरूप (AA)। ऊँचाई/12 = 1.5/2। ऊँचाई = 12 × 0.75 = 9 m।
7. ΔABC में DE ∥ BC, AD = x, DB = x − 2, AE = x + 2, EC = x − 1। x निकालो।
BPT से x/(x − 2) = (x + 2)/(x − 1)। वज्र गुणन: x² − x = x² − 4। अतः x = 4।
8. ΔPQR में ∠P = 70°, ΔXYZ में ∠X = 70°, PQ = 3, PR = 5, XY = 6, XZ = 10। क्या वे समरूप हैं?
XY/PQ = 2 और XZ/PR = 2। बीच के कोण ∠P = ∠X = 70°। इसलिए SAS से ΔPQR ~ ΔXYZ।
आम गलतियाँ
- अक्षरों का क्रम गड़बड़ करना। ΔABC ~ ΔPQR में AB का साथी PQ है, QR नहीं।
- समरूप को बराबर समझना। समरूप त्रिभुज अलग नाप के हो सकते हैं; सर्वांगसम बराबर होते हैं।
- SAS में ऐसा कोण लेना जो दोनों भुजाओं के बीच न हो।
- BPT में AD/AB = AE/EC लिखना। दोनों ओर एक जैसे टुकड़े रखो: AD/DB = AE/EC या AD/AB = AE/AC।