Russia 9 класс Geometry (basic)
अध्याय: 6
1. Solving triangles
Trigonometry for 0°–180° · Laws of cosines and sines
- कोज्या नियम (Law of Cosines) – किसी भी त्रिभुज में c² = a² + b² − 2ab cos C, जहाँ C भुजाओं a और b के बीच का कोण है। C = 90° हो तो cos C = 0 और यह पाइथागोरस बन जाता है। दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण (SAS) पता हो तो तीसरी भुजा निकालो; तीनों भुजाएँ (SSS) पता हों तो कोण निकालो: cos C = (a² + b² − c²) ÷ 2ab।
2. Similarity transformation
Similarity and circle theorems
- समरूप त्रिभुज – दो आकृतियाँ समरूप होती हैं जब उनका आकार (shape) एक जैसा हो, भले नाप अलग हो। दो त्रिभुज समरूप हैं अगर उनके संगत कोण बराबर हों और संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों। आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT): त्रिभुज की एक भुजा के समांतर रेखा बाकी दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है; इसका विलोम भी सही है। समरूपता AA, SSS या SAS से सिद्ध होती है।
3. Vectors
Vectors
- सदिश: स्तंभ सदिश, जोड़, गुणा और प्रमाण – सदिश में आकार और दिशा दोनों होते हैं। ग्रिड पर इसे स्तंभ सदिश (ऊपर आड़ा, नीचे खड़ा) लिखते हैं। सदिश सिरे से पूँछ जोड़कर, यानी हिस्से जोड़कर, जोड़े जाते हैं; किसी संख्या से गुणा करके लंबे या उल्टे किए जाते हैं। लंबाई पाइथागोरस से निकलती है। ज्यामिति में किसी भी रास्ते को ज्ञात सदिशों के योग से लिखकर समांतरता या मध्यबिंदु सिद्ध करते हैं।
4. Coordinate method
Coordinates
- निर्देशांक ज्यामिति: दूरी सूत्र और विभाजन सूत्र – समतल पर हर बिंदु का एक पता होता है (x, y)। A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) के बीच की दूरी d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] है; यह x-अंतर और y-अंतर पर पाइथागोरस ही है। जो बिंदु P, AB को अंदर से m : n में बाँटे, वह P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n)) है। m = n हो तो P मध्य-बिंदु है।
5. Regular polygons and circle measure
Circle measure
- त्रिज्यखंड और वृत्तखंड का क्षेत्रफल – त्रिज्यखंड वृत्त का पिज़्ज़ा जैसा टुकड़ा है: क्षेत्रफल = θ/360 × πr²। उसका किनारा चाप है: लंबाई = θ/360 × 2πr। वृत्तखंड = त्रिज्यखंड − अंदर का त्रिभुज।
6. Motions of the plane
Plane motions
- रूपांतरण: आकृति को खिसकाना, पलटना, घुमाना और बड़ा करना – रूपांतरण किसी आकृति को नई जगह ले जाता है। स्थानांतरण उसे खिसकाता है, परावर्तन दर्पण रेखा में पलटता है, घूर्णन एक केंद्र के चारों ओर घुमाता है, और आवर्धन माप बदलता है। पहले तीन में माप और आकार वही रहते हैं (सर्वांगसम प्रतिबिंब)। आवर्धन में आकार वही, माप बदलता है (समरूप प्रतिबिंब)। हर एक का आसान निर्देशांक नियम है।