सदिश क्या है? स्तंभ सदिश और स्थानांतरण
अदिश (scalar) में सिर्फ़ आकार होता है, जैसे 5 kg या 20 °C। सदिश (vector) में आकार और दिशा दोनों होते हैं, जैसे "3 m दाएँ और 2 m ऊपर"।
चौकोर ग्रिड पर सदिश को स्तंभ सदिश लिखते हैं: ऊपर वाली संख्या आड़ी चाल (दाएँ +, बाएँ −) और नीचे वाली ऊपर की चाल (ऊपर +, नीचे −)। तो (3 / 2) मतलब 3 दाएँ, 2 ऊपर, और (−2 / −1) मतलब 2 बाएँ, 1 नीचे। (कॉपी में दोनों संख्याएँ लंबे कोष्ठक में एक के ऊपर एक लिखी जाती हैं।)
सदिश को मोटे या रेखांकित छोटे अक्षर a से, या दो बड़े अक्षरों पर तीर AB→ से लिखते हैं, मतलब "A से B तक"।
स्थानांतरण (translation) आकृति को घुमाए बिना खिसकाता है। इसे एक स्तंभ सदिश से बताते हैं: हर कोना उतना ही खिसकता है।
सदिशों को जोड़ना, घटाना और गुणा करना
जोड़ना
सदिश सिरे से पूँछ रखो: पहले a, फिर जहाँ a खत्म हुआ वहाँ से b। परिणामी a + b शुरू से सीधे अंत तक जाता है। संख्याओं में ऊपर-ऊपर और नीचे-नीचे जोड़ो: (3 / 1) + (1 / 3) = (4 / 4)। क्रम से फ़र्क नहीं पड़ता: a + b = b + a।
संख्या से गुणा
ka में दोनों हिस्से k से गुणा होते हैं। k = 2 हो तो तीर दोगुना लंबा, वही दिशा। k = −1 हो तो उतना ही लंबा, उल्टी दिशा। जो सदिश एक-दूसरे के गुणज हों, वे समांतर होते हैं।
घटाना
a − b = a + (−b): b को उल्टा करो, फिर जोड़ो। संख्याओं में: (5 / 2) − (1 / 4) = (4 / −2)।
लंबाई (परिमाण)
(x / y) की लंबाई |a| = √(x² + y²), पाइथागोरस से। (3 / 4) की लंबाई 5 है।
सदिश ज्यामिति के प्रमाण
प्रमाण में कुछ सदिश दिए होते हैं, जैसे OA = a और OB = b, और बाकी रेखाएँ इन्हीं से लिखनी होती हैं।
- रास्ता चुनो: A से B जाने के लिए A → O → B। तो AB = AO + OB = −a + b = b − a।
- रेखा का भाग: M अगर AB का मध्यबिंदु है, तो AM = ½AB। इसलिए OM = OA + AM = a + ½(b − a) = ½(a + b)।
- समांतर: अगर PQ = 2(b − a) तो PQ = 2AB, यानी PQ, AB के समांतर और दोगुना लंबा है।
- एक सीधी रेखा पर बिंदु (संरेख): अगर PQ = k × QR और दोनों में बिंदु Q साझा है, तो P, Q, R एक रेखा पर हैं।
हमेशा पूरा सरल करो और शब्दों में लिखो कि परिणाम क्या दिखाता है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- स्तंभ सदिश (x / y): x = आड़ा (दाएँ +), y = ऊपर (+)
- (a / b) + (c / d) = (a + c / b + d)
- k(x / y) = (kx / ky)
- a − b = a + (−b)
- |(x / y)| = √(x² + y²)
- AB = OB − OA = b − a; AB का मध्यबिंदु: OM = ½(a + b)
- समांतर: एक सदिश दूसरे का कोई गुणज हो
हल किए गए उदाहरण
1. "4 बाएँ और 1 ऊपर" को स्तंभ सदिश में लिखो।
बाएँ ऋणात्मक, ऊपर धनात्मक: (−4 / 1)।
2. a = (2 / 5), b = (3 / −1)। a + b निकालो।
(2 + 3 / 5 + (−1)) = (5 / 4)।
3. a = (2 / 5), b = (3 / −1)। 3a − 2b निकालो।
3a = (6 / 15); 2b = (6 / −2)। 3a − 2b = (6 − 6 / 15 − (−2)) = (0 / 17)।
4. (6 / −8) की लंबाई निकालो।
√(6² + (−8)²) = √(36 + 64) = √100 = 10।
5. त्रिभुज को (−3 / 2) से खिसकाया। कोना (5, 1) कहाँ जाएगा?
x: 5 − 3 = 2; y: 1 + 2 = 3। नया कोना (2, 3)।
6. OA = a, OB = b। M, AB का मध्यबिंदु है। दिखाओ OM = ½(a + b)।
AB = −a + b = b − a। AM = ½(b − a)। OM = OA + AM = a + ½b − ½a = ½a + ½b = ½(a + b)।
7. OP = 2a, OQ = 2b, X, OP का और Y, OQ का मध्यबिंदु है। सिद्ध करो XY, PQ के समांतर है।
PQ = −2a + 2b = 2(b − a)। OX = a, OY = b, तो XY = −a + b = b − a। PQ = 2 XY, इसलिए PQ, XY के समांतर और दोगुना लंबा है।
आम गलतियाँ
- संख्याएँ उलट देना: ऊपर आड़ी चाल, नीचे ऊपर की चाल।
- चिह्न भूलना: बाएँ या नीचे जाने पर संख्या ऋणात्मक होती है।
- OA = a और OB = b हो तो AB = a − b लिखना। सही है AB = b − a (अंत घटा शुरू)।
- सदिशों की जगह लंबाइयाँ जोड़ना: |a + b| आमतौर पर |a| + |b| नहीं होता।