प्रतिदर्श समष्टि, तालिका और वेन आरेख
प्रतिदर्श समष्टि (sample space) हर संभव परिणाम की सूची है। दो सिक्कों के लिए {HH, HT, TH, TT}। दो पासों के लिए 6 × 6 तालिका में 36 परिणाम। अगर सभी परिणाम बराबर संभव हों:
P(घटना) = अनुकूल परिणाम ÷ कुल परिणाम
वेन आरेख एक-दूसरे पर चढ़े समूह दिखाता है। साझा हिस्सा A और B (A ∩ B) है। किसी भी घेरे में जो है वह A या B (A ∪ B)। दोनों घेरों के बाहर कोई नहीं।
योग नियम: P(A या B) = P(A) + P(B) − P(A और B)। साझा हिस्सा घटाते हैं ताकि दो बार न गिना जाए। अगर A और B साथ नहीं हो सकते (परस्पर अपवर्जी), तो साझा हिस्सा 0 है।
वृक्ष आरेख और गुणन नियम
वृक्ष आरेख हर चरण को शाखाओं से दिखाता है। हर शाखा पर प्रायिकता लिखो। एक बिंदु से निकली शाखाओं का योग हमेशा 1 होता है।
- पूरे रास्ते की प्रायिकता के लिए शाखाओं पर गुणा करो: P(A फिर B) = P(A) × P(A के बाद B)।
- जो रास्ते चाहिए उनके अंतिम परिणाम जोड़ो। उदाहरण: P(एक-एक रंग) = P(RB) + P(BR)।
- सभी अंतिम परिणामों का योग 1 होता है, यह अच्छी जाँच है।
"कम से कम एक" वाले सवाल अक्सर 1 − P(एक भी नहीं) से जल्दी हल होते हैं।
स्वतंत्र और आश्रित घटनाएँ
दो घटनाएँ स्वतंत्र हैं अगर एक दूसरी की संभावना नहीं बदलती। सिक्का उछालना और पासा फेंकना स्वतंत्र हैं। गेंद निकालकर वापस डालना और फिर निकालना भी स्वतंत्र है। तब P(A और B) = P(A) × P(B)।
घटनाएँ आश्रित हैं अगर पहली दूसरी को बदल दे। बिना वापस डाले निकालना आश्रित है: लाल गेंद निकालने के बाद लाल भी कम और कुल गेंदें भी कम, तो दूसरे चरण की भिन्न बदल जाती है।
उदाहरण: 3 लाल, 2 नीली। वापस डालकर P(RR) = 3/5 × 3/5 = 9/25। बिना डाले P(RR) = 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10।
सप्रतिबंध प्रायिकता
P(A | B) का मतलब है "A की प्रायिकता, जब दिया है कि B हो चुका"। B पता होने से प्रतिदर्श समष्टि सिर्फ़ B तक छोटी हो जाती है।
P(A | B) = P(A और B) ÷ P(B), या गिनती से: (दोनों में संख्या) ÷ (B में संख्या)।
उदाहरण: 30 विद्यार्थियों में 12 को क्रिकेट पसंद, 5 को क्रिकेट और फ़ुटबॉल दोनों। P(फ़ुटबॉल | क्रिकेट) = 5 ÷ 12। ध्यान दो, यह 5 ÷ 30 नहीं है: सिर्फ़ क्रिकेट वालों को देखते हैं।
इसे पलटने से फिर गुणन नियम मिलता है: P(A और B) = P(B) × P(A | B)। वृक्ष आरेख की दूसरी शाखाएँ यही दिखाती हैं।
स्वतंत्रता की जाँच: A और B स्वतंत्र हैं अगर P(A | B) = P(A)। यहाँ P(F | C) = 5/12 ≈ 0.42 पर P(F) = 18/30 = 0.6, तो फ़ुटबॉल और क्रिकेट पसंद करना स्वतंत्र नहीं।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- P(घटना) = अनुकूल परिणाम ÷ कुल परिणाम (बराबर संभव)
- P(A या B) = P(A) + P(B) − P(A और B)
- स्वतंत्र: P(A और B) = P(A) × P(B)
- कोई भी दो घटनाएँ: P(A और B) = P(A) × P(B | A)
- P(A | B) = P(A और B) ÷ P(B)
- स्वतंत्र ⇔ P(A | B) = P(A)
- P(कम से कम एक) = 1 − P(एक भी नहीं)
हल किए गए उदाहरण
1. दो पासे फेंके। P(योग = 7)?
36 बराबर संभव परिणाम। योग 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) = 6। P = 6/36 = 1/6।
2. दो दिनों में हर दिन P(बारिश) = 0.3, स्वतंत्र। P(दोनों दिन बारिश)?
0.3 × 0.3 = 0.09।
3. थैले में 4 हरी और 6 पीली टॉफ़ियाँ। दो वापस डालकर निकालीं। P(दोनों हरी)?
4/10 × 4/10 = 16/100 = 4/25।
4. वही थैला, बिना वापस डाले। P(दोनों हरी) और P(एक-एक) निकालो।
P(GG) = 4/10 × 3/9 = 12/90 = 2/15। P(GY) = 4/10 × 6/9 = 24/90; P(YG) = 6/10 × 4/9 = 24/90। P(एक-एक) = 48/90 = 8/15।
5. 40 की कक्षा में 22 फ़्रेंच, 15 स्पैनिश और 6 दोनों पढ़ते हैं। P(फ़्रेंच | स्पैनिश)?
सिर्फ़ 15 स्पैनिश वालों को देखो। उनमें 6 फ़्रेंच पढ़ते हैं। P = 6/15 = 2/5।
6. P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A और B) = 0.2। क्या A और B स्वतंत्र हैं? P(A | B)?
P(A) × P(B) = 0.2 = P(A और B), तो हाँ। P(A | B) = 0.2 ÷ 0.4 = 0.5 = P(A), मेल खाता है।
7. बत्ती 0.6 प्रायिकता से लाल होती है। लाल हो तो ड्राइवर 0.3 प्रायिकता से देर से पहुँचता है, वरना 0.1। P(देर)?
वृक्ष: P(लाल और देर) = 0.6 × 0.3 = 0.18; P(लाल नहीं और देर) = 0.4 × 0.1 = 0.04। P(देर) = 0.18 + 0.04 = 0.22।
आम गलतियाँ
- बिना वापस डाले भी दूसरी बार वही भिन्न रखना। ऊपर और नीचे दोनों से एक घटाओ।
- शाखा पर जोड़ना। शाखाओं पर गुणा करो; पूरे रास्तों के बीच जोड़ो।
- P(A | B) में B की संख्या की जगह कुल संख्या से भाग देना।
- परस्पर अपवर्जी को स्वतंत्र समझना। परस्पर अपवर्जी घटनाएँ साथ नहीं हो सकतीं, तो एक-दूसरे पर असर डालती हैं।