प्रतिदर्श समष्टि का विभाजन
विभाजन (partition) का मतलब है सारी संभावनाओं को E1, E2, …, En टुकड़ों में ऐसे काटना कि:
- कोई दो टुकड़े आपस में न मिलें (साथ न हो सकें),
- सब मिलकर पूरा ढक लें (कोई एक तो होगा ही),
- हर टुकड़े का मौका 0 से ज़्यादा हो।
उदाहरण: बल्ब M1, M2 या M3 से आता है, दो मशीनों से कभी नहीं। इसलिए P(E1) + … + P(En) = 1।
सम्पूर्ण प्रायिकता प्रमेय
घटना A (जैसे "बल्ब ख़राब है") किसी भी टुकड़े के रास्ते से हो सकती है। हर रास्ते का मौका = P(Ei) × P(A|Ei) (गुणन नियम)। रास्ते आपस में नहीं मिलते, इसलिए जोड़ दो:
P(A) = P(E1)P(A|E1) + P(E2)P(A|E2) + … + P(En)P(A|En)
वृक्ष आरेख (tree diagram) में: A पर ख़त्म होने वाली हर शाखा पर गुणा करो, फिर उन्हें जोड़ो।
बेज़ प्रमेय
अब सवाल उल्टा है। हमें पता है कि A हो चुका। यह किस टुकड़े से आया? सप्रतिबंध प्रायिकता से P(Ei|A) = P(Ei ∩ A) ÷ P(A)। ऊपर गुणन नियम और नीचे सम्पूर्ण प्रायिकता रखो:
P(Ei|A) = P(Ei)·P(A|Ei) ÷ Σ P(Ej)·P(A|Ej)
- पूर्व प्रायिकता (prior) P(Ei): ख़बर से पहले का भरोसा।
- संभाविता (likelihood) P(A|Ei): यह कारण ख़बर को कितना समझाता है।
- उत्तर प्रायिकता (posterior) P(Ei|A): ख़बर के बाद का नया भरोसा।
सारी उत्तर प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
हर बेज़ सवाल 4 पंक्तियों में
- कारण E1, E2, … (विभाजन) और ख़बर A का नाम लिखो।
- P(Ei) और P(A|Ei) लिखो।
- हर जोड़ी का गुणा करके जोड़ो: यही P(A) है।
- उत्तर = पूछे गए कारण का गुणनफल ÷ P(A)।
करके देखो
कप में 2 सिक्के रखो: एक सामान्य, एक जिसके दोनों तरफ़ चित हो। बिना देखे एक निकालकर उछालो। चित आया। अंदाज़ा लगाओ: क्या यह दोनों-तरफ़-चित वाला है? बेज़: (½ × 1) ÷ (½ × 1 + ½ × ½) = 2/3। दोस्त के साथ 30 बार करके गिनो। 3D में हिस्से 50/50 और ख़राबी 100% व 50% रखकर यही 2/3 देखो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- विभाजन: E1, …, En आपस में नहीं मिलते, S को ढकते हैं, हर P(Ei) > 0
- सम्पूर्ण प्रायिकता: P(A) = Σ P(Ei)·P(A|Ei)
- बेज़ प्रमेय: P(Ei|A) = P(Ei)·P(A|Ei) ÷ Σ P(Ej)·P(A|Ej)
- P(E1|A) + … + P(En|A) = 1
- पूर्व = P(Ei) (ख़बर से पहले); उत्तर = P(Ei|A) (ख़बर के बाद)
हल किए गए उदाहरण
1. थैला I में 3 लाल, 2 काली; थैला II में 2 लाल, 4 काली गेंदें। कोई एक थैला यादृच्छया चुनकर एक गेंद निकाली। लाल होने की प्रायिकता?
चरण 1: P(I) = P(II) = 1/2। चरण 2: P(लाल|I) = 3/5, P(लाल|II) = 1/3। चरण 3: P(लाल) = 3/10 + 1/6 = 7/15।
2. उसी में गेंद लाल निकली। थैला I से होने की प्रायिकता?
चरण 1: ऊपर = 1/2 × 3/5 = 3/10। चरण 2: नीचे = 7/15। चरण 3: P(I|लाल) = (3/10) ÷ (7/15) = 9/14।
3. M1, M2, M3 क्रमशः 50%, 30%, 20% बल्ब बनाती हैं; ख़राबी दर 10%, 20%, 40%। बल्ब ख़राब है। हर मशीन से होने की प्रायिकता?
चरण 1: रास्ते: 0.05, 0.06, 0.08। चरण 2: P(ख़राब) = 0.19। चरण 3: 5/19, 6/19, 8/19। जाँच: 5 + 6 + 8 = 19 ✓।
4. एक बीमारी 1% लोगों को है। जाँच बीमारों में 95% को पकड़ती है, पर 5% स्वस्थ लोगों को भी ग़लती से पॉज़िटिव बताती है। कोई पॉज़िटिव आया। बीमार होने की प्रायिकता?
चरण 1: P(बीमार) = 0.01, P(स्वस्थ) = 0.99। चरण 2: P(+|बीमार) = 0.95, P(+|स्वस्थ) = 0.05। चरण 3: P(+) = 0.0095 + 0.0495 = 0.059। चरण 4: 0.0095 ÷ 0.059 ≈ 0.161, यानी लगभग 16% ही।
5. एक छात्रा 3/4 MCQ का उत्तर जानती है, बाकी में 4 विकल्पों से अंदाज़ा लगाती है। उसका उत्तर सही है। उसे उत्तर पता होने की प्रायिकता?
चरण 1: P(पता) = 3/4, P(अंदाज़ा) = 1/4। चरण 2: P(सही|पता) = 1, P(सही|अंदाज़ा) = 1/4। चरण 3: P(सही) = 3/4 + 1/16 = 13/16। चरण 4: (3/4) ÷ (13/16) = 12/13।
6. एक व्यक्ति 4 में से 3 बार सच बोलता है। वह पासा फेंककर कहता है "छक्का आया"। सच में छक्का होने की प्रायिकता?
चरण 1: छक्का 1/6, नहीं 5/6। चरण 2: P(कहे छक्का | छक्का) = 3/4, P(कहे छक्का | नहीं) = 1/4। चरण 3: कुल = 3/24 + 5/24 = 8/24। चरण 4: (3/24) ÷ (8/24) = 3/8।
7. 52 पत्तों में से एक पत्ता खो गया। बाकी से दो पत्ते निकाले, दोनों ईंट (diamond) हैं। खोया पत्ता ईंट होने की प्रायिकता?
चरण 1: P(खोया ईंट) = 1/4, नहीं = 3/4। चरण 2: खोया ईंट: 12/51 × 11/50; नहीं: 13/51 × 12/50। चरण 3: ऊपर = 1/4 × 132 = 33; नीचे = 33 + 3/4 × 156 = 150 (सब 2550 पर)। चरण 4: 33/150 = 11/50।
आम गलतियाँ
- यह न जाँचना कि कारण विभाजन बनाते हैं या नहीं। अगर वे मिलते हैं या कुछ छूटता है, सूत्र ग़लत हो जाता है।
- P(A|Ei) (सवाल में दिया) और P(Ei|A) (बेज़ से निकलता) को मिला देना।
- सिर्फ़ P(A|Ei) को उत्तर मान लेना और पूर्व प्रायिकता P(Ei) भूल जाना।
- कुल P(A) की जगह 1 से भाग देना। नीचे हमेशा A तक जाने वाले सारे रास्तों का योग आता है।