यादृच्छिक चर: परिणामों को संख्याओं में बदलना
यादृच्छिक चर (random variable) एक नियम है जो यादृच्छिक प्रयोग के हर परिणाम को एक संख्या देता है। इसे बड़े अक्षर X से लिखते हैं।
- असतत (discrete): अलग-अलग मान जिन्हें गिन सकें, जैसे 0, 1, 2, 3 (चित की संख्या, खराब बल्बों की संख्या, मैच में गोल)।
- संतत (continuous): किसी सीमा में कोई भी मान, जैसे लंबाई, समय या द्रव्यमान।
उदाहरण: दो सिक्के उछालो। X = चित की संख्या। HH → 2, HT → 1, TH → 1, TT → 0।
प्रायिकता बंटन की तालिका
X का प्रायिकता बंटन हर मान x और उसकी प्रायिकता P(X = x) बताता है। दो सिक्कों के लिए:
| x | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P(X = x) | 1/4 | 1/2 | 1/4 |
दो नियम हमेशा सही होने चाहिए:
- हर x के लिए 0 ≤ P(X = x) ≤ 1।
- ΣP(X = x) = 1।
इसे तालिका, सूत्र या स्तंभ चार्ट से दिखा सकते हैं। संचयी बंटन F(x) = P(X ≤ x) बाईं ओर से स्तंभ जोड़ता है।
प्रत्याशित मान, प्रसरण और मानक विचलन
प्रत्याशित मान (माध्य): μ = E(X) = Σ x·P(X = x)। प्रयोग बहुत बार दोहराने पर यह लंबे समय का औसत है, और चार्ट का संतुलन बिंदु भी।
प्रसरण (variance): Var(X) = Σ (x − μ)²·P(X = x) = E(X²) − [E(X)]², जहाँ E(X²) = Σ x²·P(X = x)।
मानक विचलन: σ = √Var(X)। इसकी इकाई X जैसी ही होती है।
काम के नियम: E(aX + b) = aE(X) + b और Var(aX + b) = a²Var(X)।
न्यायसंगत खेल (fair game): जब औसत लाभ 0 हो।
खास बंटन: एकसमान, द्विपद, प्वासों
असतत एकसमान
हर मान बराबर संभावित। निष्पक्ष पासा: k = 1 से 6 के लिए P(X = k) = 1/6, माध्य 3.5।
द्विपद B(n, p)
कब लगाएँ: प्रयासों की संख्या n तय हो, हर प्रयास के दो परिणाम (सफलता / असफलता), सफलता की प्रायिकता p हर बार समान, और प्रयास स्वतंत्र (बर्नूली परीक्षण)।
P(X = k) = ⁿCₖ pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, k = 0, 1, …, n। माध्य = np, प्रसरण = np(1 − p)।
प्वासों Po(λ)
किसी तय समय या जगह में स्वतंत्र रूप से औसत दर λ से होने वाली घटनाएँ गिनता है (हर घंटे कॉल, हर पेज पर टाइपिंग गलतियाँ)। P(X = k) = e^(−λ) λᵏ / k!। माध्य = प्रसरण = λ। जब n बड़ा और p छोटा हो तो λ = np लेकर यह B(n, p) का अच्छा अनुमान देता है।
संतत बंटन और प्रतीक्षा समय
संतत X के लिए प्रायिकता घनत्व वक्र f(x) लेते हैं। प्रायिकता = वक्र के नीचे का क्षेत्रफल, इसलिए किसी एक सटीक मान की प्रायिकता 0 है और कुल क्षेत्रफल 1।
- [a, b] पर एकसमान: f(x) = 1/(b − a); माध्य (a + b)/2।
- चरघातांकी (exponential), अगली घटना तक का प्रतीक्षा समय: P(T > t) = e^(−λt), माध्य 1/λ। इसकी "याददाश्त" नहीं होती: जितना इंतज़ार हो चुका, उससे बाकी इंतज़ार की संभावना नहीं बदलती।
- प्रसामान्य (normal): घंटी जैसा वक्र, माध्य μ, मानक विचलन σ। लगभग 68% मान μ से 1σ के अंदर और 95% मान 2σ के अंदर। बड़े n वाला द्विपद प्रसामान्य वक्र जैसा दिखता है।
करके देखें
पासा 30 बार फेंको और हर अंक गिनो। स्तंभ चार्ट बनाओ। क्या यह चरण 6 के सपाट नीले स्तंभों जैसा है? फिर 30 बार का औसत निकालो। क्या यह 3.5 के पास है? 60 बार करो: और पास आएगा। यही प्रत्याशित मान है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- ΣP(X = x) = 1, 0 ≤ P(X = x) ≤ 1
- E(X) = Σ x·P(X = x)
- Var(X) = Σ (x − μ)²P(X = x) = E(X²) − μ²; σ = √Var(X)
- E(aX + b) = aE(X) + b; Var(aX + b) = a²Var(X)
- द्विपद: P(X = k) = ⁿCₖ pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ; माध्य np; प्रसरण np(1 − p)
- प्वासों: P(X = k) = e^(−λ)λᵏ/k!; माध्य = प्रसरण = λ
- चरघातांकी प्रतीक्षा समय: P(T > t) = e^(−λt); माध्य 1/λ
हल किए गए उदाहरण
1. X = निष्पक्ष पासे पर आया अंक। E(X) ज्ञात करो।
1 से 6 हर मान की P = 1/6। E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 21/6 = 3.5।
2. P(X = 0) = 0.2, P(X = 1) = k, P(X = 2) = 0.5। k ज्ञात करो।
प्रायिकताओं का जोड़ 1: 0.2 + k + 0.5 = 1, अतः k = 0.3।
3. X के मान 0, 1, 2, 3 और प्रायिकताएँ 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 हैं। E(X) और Var(X) ज्ञात करो।
E(X) = 0 + 0.2 + 0.6 + 1.2 = 2.0। E(X²) = 0 + 0.2 + 1.2 + 3.6 = 5.0। Var(X) = 5.0 − 2.0² = 1.0, अतः σ = 1।
4. खेल: ₹10 दो, पासा फेंको; छक्का आए तो ₹30 मिलें, वरना कुछ नहीं। क्या खेल न्यायसंगत है?
लाभ = 20 (P = 1/6), −10 (P = 5/6)। E(लाभ) = 20/6 − 50/6 = −5। औसतन हर खेल में ₹5 का घाटा, अतः न्यायसंगत नहीं।
5. एक सिक्का 5 बार उछाला गया। ठीक 3 चित की प्रायिकता?
B(5, 0.5)। P(X = 3) = ⁵C₃ (0.5)³(0.5)² = 10 × 1/32 = 0.3125।
6. 10% बल्ब खराब हैं। 8 बल्ब के पैक में खराब बल्बों का माध्य, प्रसरण और P(कोई खराब नहीं) ज्ञात करो।
B(8, 0.1)। माध्य = 0.8। प्रसरण = 8 × 0.1 × 0.9 = 0.72। P(X = 0) = 0.9⁸ ≈ 0.430।
7. हेल्प डेस्क पर औसतन 3 कॉल प्रति मिनट (प्वासों)। P(एक मिनट में कोई कॉल नहीं) और P(अधिकतम 1 कॉल)?
λ = 3। P(0) = e⁻³ ≈ 0.0498। P(1) = 3e⁻³ ≈ 0.1494। P(X ≤ 1) ≈ 0.199।
8. E(X) = 4 और Var(X) = 2 हो तो E(3X − 1) और Var(3X − 1)?
E(3X − 1) = 12 − 1 = 11। Var(3X − 1) = 9 × 2 = 18 (स्थिरांक जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता)।
आम गलतियाँ
- माध्य निकालने से पहले यह न जाँचना कि प्रायिकताओं का जोड़ 1 है।
- Var(X) = E(X²) − E(X) लिखना; सही है E(X²) − [E(X)]²।
- जब हर प्रयास में संभावना बदलती हो (जैसे बिना वापस रखे निकालना), तब भी द्विपद लगाना।
- Var(aX + b) = aVar(X) + b लिखना। स्थिरांक b हट जाता है और a का वर्ग होता है।