प्वासों बंटन (Poisson Distribution)

प्वासों बंटन क्या है?

कभी हम तय प्रयासों में सफलताएँ नहीं गिनते। हम तय समय या जगह में घटनाएँ गिनते हैं: एक मिनट में कारें, एक घंटे में कॉल, एक पन्ने पर गलतियाँ।

अगर घटनाएँ यादृच्छिक, एक-एक करके, स्वतंत्र रूप से और स्थिर औसत दर से हों, तो गिनती X प्वासों बंटन मानती है, जिसका प्राचल λ (लैम्डा) है। λ चुने हुए खाने में घटनाओं की औसत संख्या है।

सूत्र

P(X = k) = e^−λ · λ^k / k!, k = 0, 1, 2, 3, …

यहाँ e ≈ 2.718 है और k! = k × (k−1) × … × 1 (0! = 1)। उदाहरण: λ = 2 हो तो P(0) = e⁻² = 0.135 और P(2) = e⁻² × 4/2 = 0.271। सभी प्रायिकताओं का योग 1 होता है।

खाना बदला तो λ भी बदलेगा। घंटे में 3 कॉल हों तो 2 घंटे में λ = 6।

माध्य, प्रसरण और आकार

माध्य E(X) = λ और प्रसरण Var(X) = λ है, इसलिए मानक विचलन √λ है। यह एक जाँच है: असली आँकड़ों में औसत और प्रसरण पास-पास हों तो प्वासों अच्छा मॉडल है।

λ छोटा हो तो बार बाईं ओर झुके होते हैं (दाईं ओर लंबी पूँछ)। λ बढ़ने पर बार दाईं ओर जाते हैं, फैलते हैं और घंटी जैसे वक्र (सामान्य बंटन) जैसे दिखने लगते हैं।

द्विपद बंटन का आसान रूप

जब n बड़ा और p छोटा हो (जैसे n = 200, p = 0.02), तो द्विपद B(n, p) निकालना कठिन है। तब λ = np लेकर प्वासों इस्तेमाल करें (यहाँ 4)। मोटा नियम: n ≥ 50 और np ≤ 5 के आसपास।

खुद करके देखिए

घर पर 1-1 मिनट के 10 खानों में कुछ गिनिए: खिड़की से कारें या फ़ोन के संदेश। औसत निकालिए। अनुमान लगाइए: 0 घटनाओं वाला खाना आम होगा क्या? P(0) = e^−λ से जाँचिए। 3D में नया घंटा दबाइए: हर घंटा अलग दिखता है, पर बार वही रहते हैं।

मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ

• P(X = k) = e^(−λ) · λ^k / k!, k = 0, 1, 2, …
• माध्य E(X) = λ; प्रसरण Var(X) = λ; मानक विचलन = √λ
• t इकाई का खाना और दर r प्रति इकाई: λ = r × t
• P(X ≥ 1) = 1 − e^(−λ)
• n बड़ा, p छोटा हो तो B(n, p) ≈ प्वासों(λ = np)

हल किए गए उदाहरण

आम गलतियाँ

• समय का खाना बदलने पर λ को बदलना भूल जाना (3 प्रति घंटा = 2 घंटे में 6)।
• जब घटनाएँ स्वतंत्र न हों या दर स्थिर न हो (जैसे भीड़ का समय) तब भी प्वासों लगाना।
• P(X ≥ 1) को e^(−λ) लिख देना, जबकि यह 1 − e^(−λ) है।
• प्वासों और द्विपद को मिला देना: प्वासों में प्रयासों की संख्या तय नहीं होती और k की कोई ऊपरी सीमा नहीं।