AM और GM: औसत के दो रूप
दो धनात्मक संख्याएँ a और b लो।
समांतर माध्य (AM) आम औसत है: (a + b) / 2। यह संख्या-रेखा पर a और b के ठीक बीच का बिंदु है।
गुणोत्तर माध्य (GM) है √(ab)। यह उस वर्ग की भुजा है जिसका क्षेत्रफल a × b वाले आयत के बराबर हो।
उदाहरण: 4 और 16 के लिए AM = (4 + 16)/2 = 10 और GM = √64 = 8।
AM–GM असमिका और उसकी उपपत्ति
कथन: सभी धनात्मक a और b के लिए (a + b)/2 ≥ √(ab)। दोनों पक्ष तभी बराबर होते हैं जब a = b।
उपपत्ति, कदम-दर-कदम। किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता। इसलिए (√a − √b)² ≥ 0।
कोष्ठक खोलो: a − 2√(ab) + b ≥ 0।
बीच का पद दूसरी ओर ले जाओ: a + b ≥ 2√(ab)।
2 से भाग दो: (a + b)/2 ≥ √(ab)। सिद्ध हुआ। वर्ग शून्य तभी होता है जब √a = √b, यानी a = b।
धनात्मक संख्याएँ क्यों ज़रूरी हैं: √a और √b का अस्तित्व होना चाहिए। ऋणात्मक संख्याओं के लिए असमिका गलत हो सकती है (−2 और −8 के लिए AM = −5 है पर GM = 4)।
3D में देखो: आयत और वर्ग
3D दृश्य में नीले वर्ग का परिमाप आयत के बराबर है, इसलिए उसकी भुजा AM है। नारंगी वर्ग का क्षेत्रफल आयत के बराबर है, इसलिए उसकी भुजा GM है। नीले वर्ग में हमेशा आयत से कम नहीं क्षेत्रफल होता है: ((a+b)/2)² ≥ ab। यही असमिका चित्र के रूप में है। दोनों क्षेत्रफलों का अंतर ((a − b)/2)² है, जो तभी शून्य होता है जब a = b।
अधिकतम और न्यूनतम मान के सवाल
नियम 1 (जोड़ तय, गुणनफल अधिकतम): यदि a + b = S हो तो ab ≤ (S/2)²। अधिकतम गुणनफल (S/2)² है और यह a = b = S/2 पर मिलता है।
नियम 2 (गुणनफल तय, जोड़ न्यूनतम): यदि ab = P हो तो a + b ≥ 2√P। न्यूनतम जोड़ 2√P है और यह a = b = √P पर मिलता है।
काम के रूप: x > 0 के लिए x + 1/x ≥ 2 (x = 1 पर बराबर)। धनात्मक a, b के लिए a/b + b/a ≥ 2। और किन्हीं वास्तविक a, b के लिए a² + b² ≥ 2ab।
हल करने के 3 जाँच-बिंदु: (1) क्या सभी पद धनात्मक हैं? (2) क्या गुणनफल (या जोड़) अचर है, यानी x बचा नहीं? (3) क्या पद बराबर हो सकते हैं? यदि हाँ, तो उत्तर तभी मिलता है जब पद बराबर हों। उदाहरण: x + 9/x। गुणनफल x · 9/x = 9 अचर है, इसलिए x + 9/x ≥ 2√9 = 6, और बराबरी तब जब x = 9/x, यानी x = 3।
अधिक संख्याएँ: n धनात्मक संख्याओं के लिए भी AM ≥ GM रहता है, और बराबरी तभी जब सभी संख्याएँ बराबर हों।
घर पर करके देखो
24 सेमी लंबी डोरी लो। उससे आयत बनाओ: पहले 10 × 2, फिर 8 × 4, फिर 6 × 6। हर एक को ग्राफ़ पेपर पर बनाकर अंदर के वर्ग गिनो: 20, 32, 36। पहले अनुमान लगाओ, फिर गिनो। वर्ग जीतता है। 3D में 'जोड़ तय' चुनकर a को 5 पर लाओ और यही देखो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- AM = (a + b)/2, GM = √(ab) (a, b > 0)
- AM ≥ GM, यानी (a + b)/2 ≥ √(ab); बराबरी तभी जब a = b
- a + b ≥ 2√(ab); ab ≤ ((a + b)/2)²
- जोड़ S तय: अधिकतम गुणनफल = (S/2)², a = b = S/2 पर
- गुणनफल P तय: न्यूनतम जोड़ = 2√P, a = b = √P पर
- x > 0 के लिए x + 1/x ≥ 2; सभी वास्तविक a, b के लिए a² + b² ≥ 2ab
हल किए गए उदाहरण
1. 4 और 16 का AM और GM निकालो। जाँचो कि AM ≥ GM है।
AM = (4 + 16)/2 = 10। GM = √(4 × 16) = √64 = 8। 10 ≥ 8, इसलिए AM ≥ GM सही है। बराबर नहीं हैं क्योंकि 4 ≠ 16।
2. दो धनात्मक संख्याओं का जोड़ 14 है। उनका अधिकतम गुणनफल क्या हो सकता है?
जोड़ S = 14 तय है। गुणनफल तब सबसे बड़ा होता है जब दोनों संख्याएँ बराबर हों: 7 और 7। अधिकतम गुणनफल = 7 × 7 = 49। जाँच: 6 × 8 = 48 छोटा है।
3. एक किसान के पास आयताकार खेत के लिए 60 मीटर बाड़ है। सबसे बड़ा क्षेत्रफल निकालो।
दो भुजाएँ a और b आधी बाड़ लेती हैं: a + b = 30। गुणनफल ab तब सबसे बड़ा है जब a = b = 15। अधिकतम क्षेत्रफल = 15 × 15 = 225 वर्ग मी।
4. x > 0 के लिए x + 16/x का न्यूनतम मान निकालो।
दोनों पद धनात्मक हैं। उनका गुणनफल x · 16/x = 16 अचर है। इसलिए x + 16/x ≥ 2√16 = 8। बराबरी तब जब x = 16/x, यानी x² = 16 और x = 4। न्यूनतम मान = 8, x = 4 पर।
5. सिद्ध करो कि सभी वास्तविक a और b के लिए a² + b² ≥ 2ab।
(a − b)² ≥ 0 क्योंकि वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता। खोलो: a² − 2ab + b² ≥ 0। 2ab को दाईं ओर ले जाओ: a² + b² ≥ 2ab। बराबरी तभी जब a = b।
6. x > 0 के लिए 2x + 8/x का न्यूनतम मान और वह x निकालो जिस पर यह मिलता है।
दोनों पदों का गुणनफल 2x · 8/x = 16 अचर है। इसलिए 2x + 8/x ≥ 2√16 = 8। बराबरी तब जब 2x = 8/x, यानी x² = 4 और x = 2। न्यूनतम मान 8, x = 2 पर।
7. 0 < x < 6 के लिए x(6 − x) का अधिकतम मान निकालो।
x और 6 − x दोनों धनात्मक हैं और उनका जोड़ 6 अचर है। इसलिए गुणनफल तब सबसे बड़ा है जब x = 6 − x, यानी x = 3। अधिकतम मान 3 × 3 = 9।
आम गलतियाँ
- ऋणात्मक संख्याओं पर AM–GM लगाना। दोनों संख्याएँ धनात्मक होनी चाहिए।
- यह जाँचना भूल जाना कि गुणनफल (या जोड़) अचर है। x + 1/x में यह चलता है। x + x² में गुणनफल x³ है, अचर नहीं, इसलिए नहीं चलता।
- न्यूनतम मान लिखने से पहले यह न देखना कि बराबरी सचमुच हो सकती है। x + 1/x में x = 1 पर पद बराबर हैं, इसलिए 2 असली न्यूनतम है। बराबरी वाला मामला हमेशा जाँचो।
- यह सोचना कि AM ≥ GM का मतलब AM हमेशा सख्ती से बड़ा है। जब a = b हो तो दोनों बराबर होते हैं।