द्विघात असमिका क्या है?
द्विघात असमिका में x² वाला पद और <, ≤, > या ≥ जैसा चिह्न होता है। उदाहरण: x² − x − 6 < 0।
यह नहीं पूछती कि "कौन-सा x इसे शून्य बनाता है?"। यह पूछती है "कौन-से x इसे ऋणात्मक (या धनात्मक) बनाते हैं?"। उत्तर अक्सर संख्याओं की पूरी सीमा (range) होता है, एक-दो मान नहीं।
ग्राफ़ विधि: परवलय से उत्तर पढ़ें
- सब कुछ एक ओर लाएँ ताकि दूसरी ओर 0 हो।
- ax² + bx + c = 0 के मूल निकालें (गुणनखंड या सूत्र से)।
- परवलय बनाएँ: a > 0 तो ऊपर खुला, a < 0 तो नीचे खुला।
- ज़रूरी भाग चुनें: > 0 के लिए अक्ष के ऊपर, < 0 के लिए नीचे।
x² − x − 6 = (x + 2)(x − 3)। मूल −2 और 3। वक्र ऊपर खुलता है, इसलिए मूलों के बीच नीचे है: x² − x − 6 < 0 ⇔ −2 < x < 3, और बाहर ऊपर: x² − x − 6 > 0 ⇔ x < −2 या x > 3।
चिह्न सारणी (sign chart)
संख्या रेखा बनाकर मूल अंकित करें। वे रेखा को भागों में बाँटते हैं। हर भाग में एक संख्या रखकर हर गुणनखंड का चिह्न देखें।
| x | x < −2 | −2 < x < 3 | x > 3 |
|---|---|---|---|
| x + 2 | − | + | + |
| x − 3 | − | − | + |
| गुणनफल | + | − | + |
जिस चिह्न की ज़रूरत है, वे भाग रखें। यह विधि ज़्यादा गुणनखंडों पर भी चलती है।
सख़्त या नहीं: <, ≤ और उत्तर लिखना
< या > में मूल शामिल नहीं होते (खुले बिंदु)। ≤ या ≥ में मूल शामिल होते हैं (भरे बिंदु)।
x² − 4 ≥ 0 → x ≤ −2 या x ≥ 2। अंतराल संकेतन में: (−∞, −2] ∪ [2, ∞)।
−2 < x < 3 को (−2, 3) लिखते हैं।
विशेष स्थितियाँ: a < 0, वास्तविक मूल नहीं, दोहरा मूल
- a < 0: दोनों ओर −1 से गुणा करें और चिह्न उलट दें। −x² + 2x + 8 > 0 बनता है x² − 2x − 8 < 0 → −2 < x < 4।
- D < 0 (वास्तविक मूल नहीं): वक्र अक्ष को कभी नहीं छूता। a > 0 हो तो सदा धनात्मक: x² + 2x + 5 > 0 हर वास्तविक x पर सही, और x² + 2x + 5 < 0 का कोई हल नहीं।
- D = 0: वक्र अक्ष को एक बार छूता है। (x − 3)² ≤ 0 सिर्फ़ x = 3 पर; (x − 3)² > 0 हर x पर सिवाय 3 के।
प्राचल (parameter) वाले प्रश्न: "सभी x के लिए"
"k ज्ञात करें ताकि x² + kx + 4 > 0 हर x के लिए हो।" परवलय ऊपर खुलता है, इसलिए उसे अक्ष के ऊपर रहना है और छूना भी नहीं है। इसके लिए D < 0: k² − 16 < 0 → −4 < k < 4।
नियम: ax² + bx + c > 0 सभी x के लिए ⇔ a > 0 और D < 0। ax² + bx + c < 0 सभी x के लिए ⇔ a < 0 और D < 0।
करके देखें: पहले अनुमान, फिर जाँच
3D के खुले खेल में p = −1, q = 4 और चिह्न ≤ रखें। देखने से पहले अपना उत्तर लिखें। फिर ग्राफ़ के नीचे लिखे उत्तर से मिलाएँ। अब a को −1 करें। क्या आपका उत्तर "बीच" से "बाहर" हो गया?
घर पर: गेंद सीधी ऊपर उछालें और गिनें कि वह कितनी देर आपके सिर से ऊपर रहती है। वह समय-सीमा एक द्विघात असमिका का उत्तर है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- a > 0: ax² + bx + c < 0 ⇔ x₁ < x < x₂ (मूलों के बीच)
- a > 0: ax² + bx + c > 0 ⇔ x < x₁ या x > x₂ (मूलों के बाहर)
- ऋणात्मक संख्या से गुणा → असमिका का चिह्न उलटें
- ax² + bx + c > 0 सभी x के लिए ⇔ a > 0 और b² − 4ac < 0
हल किए गए उदाहरण
1. x² − x − 6 < 0 हल करें।
(x + 2)(x − 3) < 0। मूल −2 और 3। a > 0, इसलिए मूलों के बीच ऋणात्मक: −2 < x < 3।
2. x² − 4 ≥ 0 हल करें।
(x − 2)(x + 2) ≥ 0। मूल ±2। मूलों के बाहर, मूल शामिल: x ≤ −2 या x ≥ 2।
3. −x² + 2x + 8 > 0 हल करें।
−1 से गुणा करके चिह्न उलटें: x² − 2x − 8 < 0 → (x − 4)(x + 2) < 0 → −2 < x < 4।
4. x² + 2x + 5 > 0 हल करें।
D = 4 − 20 = −16 < 0 और a > 0, इसलिए वक्र सदा अक्ष के ऊपर। सभी वास्तविक x के लिए सत्य।
5. (x − 3)² ≤ 0 हल करें।
वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता। यह 0 सिर्फ़ x = 3 पर है। इसलिए एकमात्र हल x = 3।
6. k ज्ञात करें ताकि x² + kx + 4 > 0 सभी x के लिए हो।
D < 0 चाहिए: k² − 16 < 0 → (k − 4)(k + 4) < 0 → −4 < k < 4।
7. गेंद की ऊँचाई h = 20t − 5t² m है। वह 15 m से ऊपर कब है?
20t − 5t² > 15 → 5t² − 20t + 15 < 0 → t² − 4t + 3 < 0 → (t − 1)(t − 3) < 0 → 1 < t < 3 सेकंड।
आम गलतियाँ
- (x + 2)(x − 3) < 0 से समीकरण की तरह x < 3 और x < −2 लिख देना। ग्राफ़ या चिह्न सारणी का प्रयोग करें।
- ऋणात्मक संख्या से गुणा करते समय चिह्न उलटना भूल जाना।
- बाहर वाले भाग को −2 > x > 3 लिखना। यह दो टुकड़े हैं: x < −2 या x > 3।
- सख़्त चिह्न (< या >) में मूलों को शामिल कर लेना। तब खुले कोष्ठक ( ) लगाएँ।