सांख्यिकीय खोजी प्रश्न
सांख्यिकीय प्रश्न वह है जिसका जवाब ऐसे आँकड़ों से मिले जो बदलते हैं। "मेरी लंबाई कितनी है?" का एक ही जवाब है। "मेरी कक्षा के बच्चों की लंबाई कितनी है?" के कई जवाब हैं, इसलिए यह सांख्यिकीय है।
खोज के चार चरण:
- प्रश्न पूछो — साफ, किस समूह के बारे में और क्या।
- आँकड़े इकट्ठा करो — सर्वे, नापना, गिनना।
- व्यवस्थित करो और दिखाओ — मिलान चिह्न, बारंबारता सारणी, दंड आलेख।
- विश्लेषण करो और जवाब दो — माध्य, माध्यिका या बहुलक निकालो; बताओ आँकड़े क्या कहते हैं।
माध्य, माध्यिका और बहुलक
माध्य (औसत) = सभी मानों का जोड़ ÷ मानों की संख्या। अगर सब बराबर बाँट दें, तो हर एक का हिस्सा।
माध्यिका = आँकड़ों को क्रम में लगाने पर बीच का मान। n विषम हो तो ((n + 1) ÷ 2)वाँ मान। n सम हो तो बीच के दो मानों का औसत।
बहुलक = जो मान सबसे ज़्यादा बार आए। एक बहुलक, एक से ज़्यादा, या कोई नहीं भी हो सकता है।
बारंबारता सारणी से (मान x, बारंबारता f): माध्य = Σfx ÷ Σf।
कौन-सा औसत कब लें?
- जब मान एक-दूसरे के पास हों (कक्षा के अंक), तो माध्य।
- जब कुछ मान बहुत बड़े या बहुत छोटे हों (वेतन, मकान के दाम), तो माध्यिका। एक बहुत बड़ा मान माध्य को ऊपर खींचता है, माध्यिका लगभग नहीं हिलती।
- सबसे लोकप्रिय पसंद के लिए बहुलक — बिना संख्या वाले आँकड़ों पर भी (पसंदीदा रंग, जूते का नंबर)।
भारित माध्य
कभी-कभी कुछ मान ज़्यादा ज़रूरी होते हैं। हर मान x को एक भार w मिलता है (वह कितनी बार गिना जाए)।
भारित माध्य = (w₁x₁ + w₂x₂ + …) ÷ (w₁ + w₂ + …)
उदाहरण: 2 किग्रा चावल ₹40 वाला और 3 किग्रा ₹50 वाला। औसत दाम = (2 × 40 + 3 × 50) ÷ 5 = ₹46 प्रति किग्रा, ₹45 नहीं, क्योंकि महँगा चावल ज़्यादा है। भार प्रतिशत में भी हो सकते हैं, जिनका जोड़ 100% हो।
स्टैक्ड और 100% स्टैक्ड दंड आलेख
स्टैक्ड दंड आलेख में हर समूह की एक छड़ होती है, जो रंगीन हिस्सों में बँटी होती है और हिस्से एक के ऊपर एक रखे होते हैं। पूरी ऊँचाई कुल बताती है, हर रंग एक हिस्सा।
100% स्टैक्ड दंड आलेख में हर छड़ की ऊँचाई बराबर (100%) होती है। हर हिस्सा अपना प्रतिशत दिखाता है: हिस्सा ÷ कुल × 100। जब समूहों के कुल अलग हों पर हिस्सों की तुलना करनी हो, तब यह काम आता है।
हमेशा रंगों का संकेत (लेजेंड) और शीर्षक लिखो।
बोर्ड परीक्षा में क्या आता है
CBSE कक्षा 9 (2026-27) में सांख्यिकी और प्रायिकता के 10 अंक हैं। प्रश्न: कच्चे आँकड़ों या बारंबारता सारणी से माध्य, माध्यिका, बहुलक; भारित माध्य (अंक या दाम); स्टैक्ड या 100% स्टैक्ड दंड आलेख पढ़ना और बनाना; अच्छा सांख्यिकीय प्रश्न चुनना।
घर पर करके देखो
परिवार या दोस्तों में 10 लोगों से पूछो: "कल रात कितने घंटे सोए?" संख्याएँ लिखो। माध्य, माध्यिका और बहुलक निकालो। कौन-सा तुम्हारे समूह को सबसे अच्छे से बताता है? फिर दो कक्षाओं के दोस्तों से पूछो कि वे स्कूल कैसे आते हैं, और हर कक्षा की 100% स्टैक्ड छड़ बनाओ।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- माध्य = मानों का जोड़ ÷ मानों की संख्या
- बारंबारता सारणी से माध्य = Σfx ÷ Σf
- माध्यिका (n विषम) = क्रम में ((n + 1) ÷ 2)वाँ मान
- माध्यिका (n सम) = (n ÷ 2)वें और (n ÷ 2 + 1)वें मान का औसत
- बहुलक = सबसे अधिक बारंबारता वाला मान
- भारित माध्य = Σwx ÷ Σw
- 100% स्टैक्ड छड़ में प्रतिशत = हिस्सा ÷ कुल × 100
हल किए गए उदाहरण
1. कौन-सा सांख्यिकीय खोजी प्रश्न है: (a) मेरे बस्ते में कितनी पेंसिलें हैं? (b) कक्षा 9 के बच्चे कितनी पेंसिलें लाते हैं?
(b)। इसका जवाब हर बच्चे के लिए अलग है, इसलिए आँकड़े इकट्ठा करने होंगे। (a) का एक ही जवाब है।
2. 12, 15, 18, 20 और 25 का माध्य निकालो।
जोड़ = 90। मानों की संख्या = 5। माध्य = 90 ÷ 5 = 18।
3. 3, 8, 5, 10, 7, 12 की माध्यिका निकालो।
क्रम में: 3, 5, 7, 8, 10, 12। 6 मान (सम), तो माध्यिका = (7 + 8) ÷ 2 = 7.5।
4. 20 बच्चों के जूते के नंबर: 5 (3 बच्चे), 6 (8), 7 (6), 8 (3)। बहुलक, माध्यिका और माध्य निकालो।
बहुलक = 6 (सबसे अधिक बारंबारता 8)। माध्यिका: 10वाँ और 11वाँ मान दोनों 6, तो माध्यिका = 6। माध्य = (5×3 + 6×8 + 7×6 + 8×3) ÷ 20 = 129 ÷ 20 = 6.45।
5. दुकानदार ₹40/किग्रा वाला 2 किग्रा चावल और ₹50/किग्रा वाला 3 किग्रा चावल मिलाता है। औसत दाम प्रति किग्रा?
भारित माध्य = (2 × 40 + 3 × 50) ÷ (2 + 3) = 230 ÷ 5 = ₹46 प्रति किग्रा।
6. प्रोजेक्ट 20%, टेस्ट 30% और फाइनल 50% गिने जाते हैं। रिया के अंक 90, 70 और 80 हैं। उसका अंतिम अंक?
0.2 × 90 + 0.3 × 70 + 0.5 × 80 = 18 + 21 + 40 = 79।
7. कक्षा A में 30 बच्चे: 12 को क्रिकेट, 18 को फुटबॉल पसंद। कक्षा B में 50: 25 क्रिकेट, 25 फुटबॉल। 100% स्टैक्ड छड़ के मान बताओ।
A: क्रिकेट 12 ÷ 30 × 100 = 40%, फुटबॉल 60%। B: क्रिकेट 50%, फुटबॉल 50%। दोनों छड़ें 100% ऊँची; B में क्रिकेट का हिस्सा बड़ा है।
8. 5 संख्याओं का माध्य 12 है। चार संख्याएँ 6, 14, 9 और 11 हैं। पाँचवीं निकालो।
कुल = 5 × 12 = 60। चार का जोड़ = 40। पाँचवीं = 60 − 40 = 20।
आम गलतियाँ
- आँकड़ों को क्रम में लगाए बिना माध्यिका निकालना।
- सम संख्या में मान हों तो बीच के दो मानों का औसत न लेकर एक ही मान उठा लेना।
- भारित माध्य में भारों के जोड़ की जगह मानों की गिनती से भाग देना।
- जब समूहों के कुल अलग हों तब स्टैक्ड छड़ों की सीधी ऊँचाई से तुलना करना; हिस्सों की तुलना के लिए 100% स्टैक्ड छड़ लो।