लघुगणक क्या है?
2³ = 8 में तीन हिस्से हैं: आधार 2, घातांक 3 और उत्तर 8। लघुगणक घातांक पूछता है।
logb x = y का मतलब by = x। पढ़ो: "आधार b पर x का log"।
- log₂ 16 = 4, क्योंकि 2⁴ = 16।
- log₅ 25 = 2, क्योंकि 5² = 25।
- log₁₀ 0.01 = −2, क्योंकि 10⁻² = 0.01।
शर्तें: आधार b धनात्मक हो और 1 न हो। संख्या x धनात्मक हो। इसलिए log(−5) और log 0 होते ही नहीं।
log और घात एक-दूसरे को उलटते हैं (प्रतिलोम): blog_b x = x और logb(bx) = x।
साधारण और प्राकृतिक लघुगणक
साधारण लघुगणक: आधार 10, लिखते हैं log x। यह हमारी गिनती से मेल खाता है: log 1000 = 3, log 1 = 0, log 0.1 = −1।
प्राकृतिक लघुगणक: आधार e ≈ 2.718, लिखते हैं ln x। e प्राकृतिक वृद्धि में आता है, जैसे बैक्टीरिया या लगातार ब्याज। ln e = 1, ln 1 = 0।
रोज़ के लघुगणकीय पैमाने: pH = −log[H⁺], डेसिबल, भूकंप परिमाण। अर्ध-लघुगणकीय ग्राफ़ (semi-log) में एक अक्ष 1, 10, 100, 1000 बराबर दूरी पर होता है, तो तेज़ (घातांकीय) वृद्धि सीधी रेखा दिखती है।
इतिहास: जॉन नेपियर (1614) और हेनरी ब्रिग्स ने लघुगणक सारणी बनाई, ताकि नाविक और खगोलविद बड़ी संख्याओं का गुणा log जोड़कर कर सकें। कैलकुलेटर से पहले स्लाइड रूल इसी विचार पर चलता था।
लघुगणक के नियम
धनात्मक a, b और आधार c (c ≠ 1) के लिए:
- गुणन नियम: log(ab) = log a + log b
- भागफल नियम: log(a/b) = log a − log b
- घात नियम: log(aⁿ) = n · log a
- विशेष मान: log_c 1 = 0, log_c c = 1
- आधार परिवर्तन: log_c x = log x ÷ log c = ln x ÷ ln c
गुणन नियम क्यों सही है: अगर a = 2³ और b = 2⁴, तो ab = 2³⁺⁴। गुणा करने पर घातांक जुड़ते हैं, और log घातांक ही तो है।
ध्यान: log(a + b) बराबर log a + log b नहीं होता। जोड़ के log का कोई आसान नियम नहीं है।
y = log_b x का ग्राफ़
b > 1 के लिए y = log_b x का ग्राफ़:
- सिर्फ़ x > 0 पर होता है (प्रांत), y कोई भी वास्तविक संख्या (परिसर);
- हमेशा (1, 0) और (b, 1) से गुज़रता है;
- पहले तेज़ी से, फिर धीरे-धीरे बढ़ता है;
- y-अक्ष के पास जाता है (x = 0 ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी) पर उसे छूता नहीं।
0 < b < 1 पर वक्र नीचे जाता है। y = log_b x, y = bx का रेखा y = x में दर्पण प्रतिबिंब है, क्योंकि दोनों प्रतिलोम फलन हैं।
खिसकाना: y = log(x − 3) वक्र को 3 दाएँ ले जाता है, अनंतस्पर्शी x = 3।
घातांकीय और लघुगणकीय समीकरण हल करना
घातांकीय समीकरण (अज्ञात घात में), जैसे 5x = 40:
- दोनों तरफ़ log लो: log 5x = log 40।
- घात नियम: x log 5 = log 40।
- भाग दो: x = log 40 ÷ log 5 ≈ 1.602 ÷ 0.699 ≈ 2.29।
लघुगणकीय समीकरण, जैसे log₂(x + 1) = 3: घात रूप में लिखो: x + 1 = 2³ = 8, तो x = 7। हमेशा जाँचो कि log के अंदर की संख्या धनात्मक रहे।
असमिकाएँ: आधार > 1 पर log बढ़ता फलन है, तो log_b u < log_b v का अर्थ u < v (u, v > 0)।
मॉडल: वृद्धि A = P(1 + r)t। समय t = log(A/P) ÷ log(1 + r)।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- log_b x = y ⇔ b^y = x
- log(ab) = log a + log b
- log(a/b) = log a − log b
- log(aⁿ) = n log a
- log_b x = log x ÷ log b = ln x ÷ ln b
- log_b 1 = 0, log_b b = 1, b^(log_b x) = x
हल किए गए उदाहरण
1. log₃ 81 निकालो।
3 × 3 × 3 × 3 = 81, तो 3⁴ = 81 और log₃ 81 = 4।
2. 10⁻³ = 0.001 को log रूप में लिखो।
log₁₀ 0.001 = −3।
3. log 2 + log 5 सरल करो।
गुणन नियम: log(2 × 5) = log 10 = 1।
4. log(x³y/z) को फैलाओ।
3 log x + log y − log z।
5. कैलकुलेटर से log₂ 20 निकालो।
आधार परिवर्तन: log 20 ÷ log 2 = 1.301 ÷ 0.301 ≈ 4.32। जाँच: 2^4.32 ≈ 20।
6. 2^(x+1) = 48 हल करो।
(x + 1) log 2 = log 48 → x + 1 = 1.681 ÷ 0.301 ≈ 5.585 → x ≈ 4.585।
7. log x + log(x − 3) = 1 हल करो।
log[x(x − 3)] = 1 → x² − 3x = 10 → (x − 5)(x + 2) = 0। x = −2 पर log x नहीं बनता, तो x = 5।
8. ₹10,000 पर 8% सालाना वृद्धि। कितने साल में ₹20,000 होंगे?
20000 = 10000 × 1.08^t → 1.08^t = 2 → t = log 2 ÷ log 1.08 = 0.301 ÷ 0.0334 ≈ 9.0 साल।
आम गलतियाँ
- log(a + b) = log a + log b लिखना। गुणन नियम गुणा का है, जोड़ का नहीं।
- log a ÷ log b = log(a ÷ b) लिखना। बायाँ पक्ष आधार परिवर्तन है, भागफल नियम नहीं।
- ऐसे उत्तर रखना जिनसे log के अंदर शून्य या ऋणात्मक आए। हमेशा जाँचो।
- कैलकुलेटर पर log (आधार 10) और ln (आधार e) में गड़बड़ करना।