Les logarithmes

Qu'est-ce qu'un logarithme ?

Une puissance comme 2³ = 8 a trois parties : la base 2, l'exposant 3 et le résultat 8. Un logarithme cherche l'exposant.

log_b x = y veut dire b^y = x. On lit « log en base b de x ».

• log₂ 16 = 4, car 2⁴ = 16.
• log₅ 25 = 2, car 5² = 25.
• log₁₀ 0.01 = −2, car 10⁻² = 0.01.

Règles à respecter : la base b doit être positive et différente de 1. Le nombre x doit être positif. Donc log(−5) et log 0 n'existent pas.

Les logs et les puissances s'annulent l'un l'autre (ce sont des fonctions réciproques) : b^{log_b x} = x et log_b(b^x) = x.

Log décimal et log népérien

Log décimal : base 10, noté log x. Il colle à notre écriture des nombres : log 1000 = 3, log 1 = 0, log 0.1 = −1.

Log népérien : base e ≈ 2.718, noté ln x. Le nombre e apparaît dans les croissances naturelles, comme les bactéries ou les intérêts continus. ln e = 1, ln 1 = 0.

Échelles logarithmiques de la vie courante : pH = −log[H⁺], décibels = 10 log(I/I₀), magnitude des séismes. Sur un graphique semi-logarithmique, un axe va de 1 à 10, 100, 1000 avec des pas égaux, donc une croissance rapide (exponentielle) devient une droite.

Un peu d'histoire : John Napier (1614) et Henry Briggs ont fait des tables de logarithmes pour que les marins et les astronomes multiplient de grands nombres en additionnant des logs. Les règles à calcul reposaient sur la même idée, avant les calculatrices.

Les règles de calcul des logarithmes

Pour a, b positifs et une base c (c ≠ 1) :

• Règle du produit : log(ab) = log a + log b
• Règle du quotient : log(a/b) = log a − log b
• Règle de la puissance : log(aⁿ) = n · log a
• Valeurs spéciales : log_c 1 = 0, log_c c = 1
• Changement de base : log_c x = log x ÷ log c = ln x ÷ ln c

Pourquoi la règle du produit marche : si a = 2³ et b = 2⁴, alors ab = 2³⁺⁴. Les exposants s'additionnent quand on multiplie, et les logs sont des exposants.

Attention : log(a + b) n'est PAS log a + log b. Il n'existe pas de règle simple pour le log d'une somme.

La courbe de y = log_b x

Pour b > 1, la courbe de y = log_b x :

• existe seulement pour x > 0 (ensemble de définition), et y peut être n'importe quel réel (ensemble image) ;
• passe toujours par (1, 0) et (b, 1) ;
• monte vite au début, puis de plus en plus lentement ;
• colle à l'axe des y (x = 0 est une asymptote verticale) sans jamais le toucher.

Pour 0 < b < 1, la courbe descend. La courbe de y = log_b x est le symétrique de y = b^x par rapport à la droite y = x, car ce sont des fonctions réciproques.

Les translations marchent comme d'habitude : y = log(x − 3) décale la courbe de 3 vers la droite, donc l'asymptote devient x = 3.

Résoudre des équations exponentielles et logarithmiques

Équation exponentielle (l'inconnue est dans la puissance), par exemple 5^x = 40 :

1. Prends le log des deux côtés : log 5^x = log 40.
2. Règle de la puissance : x log 5 = log 40.
3. Divise : x = log 40 ÷ log 5 ≈ 1.602 ÷ 0.699 ≈ 2.29.

Équation logarithmique, par exemple log₂(x + 1) = 3 : écris-la avec une puissance : x + 1 = 2³ = 8, donc x = 7. Vérifie toujours que le nombre dans chaque log reste positif.

Inéquations : pour une base > 1, le log est croissant, donc log_b u < log_b v veut dire u < v (avec u, v > 0).

Modélisation : croissance A = P(1 + r)^t. Pour trouver le temps t, utilise t = log(A/P) ÷ log(1 + r).

Formules et définitions clés

• log_b x = y ⇔ b^y = x
• log(ab) = log a + log b
• log(a/b) = log a − log b
• log(aⁿ) = n log a
• log_b x = log x ÷ log b = ln x ÷ ln b
• log_b 1 = 0, log_b b = 1, b^(log_b x) = x

Exemples résolus

Erreurs fréquentes

• Écrire log(a + b) = log a + log b. La règle du produit parle de multiplication, pas d'addition.
• Écrire log a ÷ log b = log(a ÷ b). Le membre de gauche est un changement de base, pas la règle du quotient.
• Garder des solutions qui rendent l'intérieur d'un log nul ou négatif. Vérifie toujours tes solutions.
• Confondre log (base 10) et ln (base e) sur la calculatrice.