Qu'est-ce qu'une fonction exponentielle ?
Une fonction exponentielle a la variable dans l'exposant : y = a · bˣ. Ici a est la valeur de départ et b est la base, ou facteur de croissance. Il faut b > 0 et b ≠ 1.
Dans un tableau, quand x augmente de 1, y est multiplié par le même nombre b. Donc le rapport « y suivant ÷ y actuel » est constant. C'est ainsi qu'on reconnaît une relation exponentielle dans des données.
Les règles des puissances aident à simplifier : bᵐ·bⁿ = bᵐ⁺ⁿ, (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ, b⁰ = 1, b⁻ⁿ = 1/bⁿ, b^(1/n) = ⁿ√b.
Graphique, domaine, image et asymptote
Pour y = bˣ :
- Elle passe par (0, 1), car b⁰ = 1.
- Domaine : tous les nombres réels. Image : y > 0.
- L'axe des x (y = 0) est une asymptote horizontale : la courbe s'en approche sans jamais la toucher.
- b > 1 : croissante (croissance). 0 < b < 1 : décroissante (décroissance).
- Pas d'intersection avec l'axe des x ; l'ordonnée à l'origine vaut 1 (ou a pour y = a·bˣ).
Affine, quadratique ou exponentielle ? Utilise les différences
Regarde un tableau avec des pas réguliers sur x :
- Premières différences constantes → affine.
- Secondes différences constantes → quadratique.
- Rapports constants (et différences qui grandissent selon ce même rapport) → exponentielle.
La croissance exponentielle est lente au début mais, à long terme, elle dépasse toute fonction affine ou quadratique.
Transformations : y = a·b^(k(x − d)) + c
- a : étirement vertical (|a| > 1) ou compression (|a| < 1) ; a < 0 retourne la courbe par rapport à l'axe des x.
- k : compression horizontale de facteur 1/|k| ; k < 0 retourne la courbe par rapport à l'axe des y.
- d : déplace vers la droite de d (vers la gauche si d est négatif).
- c : déplace vers le haut de c. L'asymptote devient y = c et l'image devient y > c (si a > 0).
Ordre à suivre : d'abord les étirements et retournements, ensuite les déplacements. Pour chaque point (x, y) de y = bˣ, le nouveau point est (x/k + d, a·y + c).
Résoudre des problèmes : croissance, décroissance et données
- Croissance de r % : A = P(1 + r)ᵗ. Intérêts composés n fois par an : A = P(1 + r/n)ⁿᵗ.
- Doublement : N = N₀ · 2^(t/T), T = temps de doublement.
- Demi-vie : A = A₀ · (½)^(t/h), h = demi-vie.
- Baisse de r % : A = P(1 − r)ᵗ (par exemple la valeur d'une voiture, un refroidissement).
Pour modéliser des données : vérifie que les rapports sont à peu près constants, trouve a avec la valeur de départ et b avec le rapport moyen, ou utilise un outil graphique pour faire une régression exponentielle. Pour lire une réponse sur un graphique, cherche l'endroit où la courbe atteint une valeur de y.
Essaie : plie une feuille de papier en deux, encore et encore. Compte les épaisseurs : 1, 2, 4, 8, 16... Après 7 pliages, tu as 128 épaisseurs. C'est 2ᵗ.
Formules et définitions clés
- y = a · bˣ (a ≠ 0, b > 0, b ≠ 1)
- y = a · b^(k(x − d)) + c (asymptote y = c)
- A = P(1 + r)ᵗ croissance ; A = P(1 − r)ᵗ décroissance
- A = P(1 + r/n)ⁿᵗ intérêts composés
- A = A₀ (½)^(t/h) demi-vie ; N = N₀ · 2^(t/T) doublement
Exemples résolus
1. Ce tableau est-il affine, quadratique ou exponentiel ? x : 0, 1, 2, 3 ; y : 5, 15, 45, 135.
Différences : 10, 30, 90 (pas constantes). Rapports : 15/5 = 3, 45/15 = 3, 135/45 = 3 → rapport constant. Exponentiel : y = 5·3ˣ.
2. Donne le domaine, l'image, l'asymptote et l'ordonnée à l'origine de y = 2·3ˣ − 4.
Domaine : tous les réels x. a = 2 > 0, c = −4, donc l'image est y > −4. Asymptote y = −4. Ordonnée à l'origine : x = 0 → 2·1 − 4 = −2.
3. Décris les transformations de y = 2ˣ qui donnent y = −3·2^(x − 1) + 5.
a = −3 : étirement vertical de facteur 3 et retournement par rapport à l'axe des x. d = 1 : décalage de 1 vers la droite. c = 5 : décalage de 5 vers le haut. Nouvelle asymptote y = 5, image y < 5.
4. On place ₹10,000 (ou n'importe quelle monnaie) à 8 % par an, intérêts composés chaque année. Trouve le montant après 5 ans.
A = P(1 + r)ᵗ = 10000 × 1.08⁵. 1.08² = 1.1664 ; 1.08⁴ = 1.3605 ; ×1.08 = 1.4693. A ≈ 14,693.
5. Un échantillon radioactif de 80 g a une demi-vie de 6 jours. Combien en reste-t-il après 18 jours ?
Nombre de demi-vies = 18 ÷ 6 = 3. A = 80 × (½)³ = 80 ÷ 8 = 10 g.
6. Une culture de bactéries commence avec 200 cellules et double toutes les 3 heures. Quand atteindra-t-elle 6400 cellules ?
6400 = 200 · 2^(t/3) → 32 = 2^(t/3). 32 = 2⁵, donc t/3 = 5 → t = 15 heures.
Erreurs fréquentes
- Écrire 2·3ˣ comme 6ˣ. La puissance ne s'applique qu'à la base 3 : 2·3² = 18, mais 6² = 36.
- Croire que la courbe coupe l'axe des x. y = a·bˣ avec a > 0 est toujours positif ; l'axe des x est une asymptote.
- Utiliser r = 8 au lieu de 0.08 dans (1 + r)ᵗ. Transforme d'abord le pourcentage en nombre décimal.
- Se tromper sur le signe de d : y = 2^(x − 3) se déplace de 3 vers la DROITE, pas vers la gauche.