Was ist eine Exponentialfunktion?
Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable im Exponenten: y = a · bˣ. Dabei ist a der Startwert und b die Basis oder der Wachstumsfaktor. Es muss b > 0 und b ≠ 1 gelten.
In einer Tabelle wird y mit derselben Zahl b multipliziert, wenn x um 1 steigt. Der Quotient aus dem nächsten y und dem aktuellen y ist also immer gleich. So erkennst du in Daten einen exponentiellen Zusammenhang.
Die Potenzgesetze helfen beim Vereinfachen: bᵐ·bⁿ = bᵐ⁺ⁿ, (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ, b⁰ = 1, b⁻ⁿ = 1/bⁿ, b^(1/n) = ⁿ√b.
Graph, Definitionsbereich, Wertebereich und Asymptote
Für y = bˣ gilt:
- Der Graph geht durch (0, 1), denn b⁰ = 1.
- Definitionsbereich: alle reellen Zahlen. Wertebereich: y > 0.
- Die x-Achse (y = 0) ist eine waagerechte Asymptote: Die Kurve kommt ihr beliebig nahe, berührt sie aber nie.
- b > 1: steigend (Wachstum). 0 < b < 1: fallend (Zerfall).
- Es gibt keinen Schnittpunkt mit der x-Achse; der y-Achsenabschnitt ist 1 (bei y = a·bˣ ist er a).
Linear, quadratisch oder exponentiell? Mit Differenzen prüfen
Schau dir eine Tabelle mit gleich großen x-Schritten an:
- Die ersten Differenzen sind konstant → linear.
- Die zweiten Differenzen sind konstant → quadratisch.
- Die Quotienten sind konstant (und die Differenzen wachsen immer um denselben Faktor) → exponentiell.
Exponentielles Wachstum ist am Anfang langsam, überholt auf lange Sicht aber jede lineare und jede quadratische Funktion.
Transformationen: y = a·b^(k(x − d)) + c
- a: Streckung in y-Richtung (|a| > 1) oder Stauchung (|a| < 1); bei a < 0 wird an der x-Achse gespiegelt.
- k: Stauchung in x-Richtung um den Faktor 1/|k|; bei k < 0 wird an der y-Achse gespiegelt.
- d: verschiebt um d nach rechts (nach links, wenn d negativ ist).
- c: verschiebt um c nach oben. Die Asymptote wandert nach y = c und der Wertebereich wird y > c (wenn a > 0).
Reihenfolge: erst strecken und spiegeln, dann verschieben. Jeder Punkt (x, y) von y = bˣ wird zum neuen Punkt (x/k + d, a·y + c).
Aufgaben lösen: Wachstum, Zerfall und Daten
- Wachstum um r %: A = P(1 + r)ᵗ. Zinseszins n-mal im Jahr: A = P(1 + r/n)ⁿᵗ.
- Verdopplung: N = N₀ · 2^(t/T), T = Verdopplungszeit.
- Halbwertszeit: A = A₀ · (½)^(t/h), h = Halbwertszeit.
- Abnahme um r %: A = P(1 − r)ᵗ (z. B. Wert eines Autos, Abkühlen).
Daten modellieren: Prüfe, ob die Quotienten ungefähr konstant sind. Dann nimmst du a als Startwert und b als mittleren Quotienten, oder du nutzt ein Grafikprogramm für eine exponentielle Regression. Antworten aus einem Graphen liest du ab, indem du suchst, wo die Kurve einen bestimmten y-Wert erreicht.
Probier es aus: Falte ein Blatt Papier immer wieder in der Mitte und zähle die Lagen: 1, 2, 4, 8, 16 ... Nach 7 Faltungen hast du 128 Lagen. Das ist 2ᵗ.
Wichtige Formeln und Definitionen
- y = a · bˣ (a ≠ 0, b > 0, b ≠ 1)
- y = a · b^(k(x − d)) + c (Asymptote y = c)
- A = P(1 + r)ᵗ Wachstum; A = P(1 − r)ᵗ Abnahme
- A = P(1 + r/n)ⁿᵗ Zinseszins
- A = A₀ (½)^(t/h) Halbwertszeit; N = N₀ · 2^(t/T) Verdopplung
Gelöste Beispiele
1. Ist diese Tabelle linear, quadratisch oder exponentiell? x: 0,1,2,3; y: 5, 15, 45, 135.
Differenzen: 10, 30, 90 (nicht konstant). Quotienten: 15/5 = 3, 45/15 = 3, 135/45 = 3 → konstanter Quotient. Also exponentiell: y = 5·3ˣ.
2. Gib Definitionsbereich, Wertebereich, Asymptote und y-Achsenabschnitt von y = 2·3ˣ − 4 an.
Definitionsbereich: alle reellen x. Es ist a = 2 > 0 und c = −4, also Wertebereich y > −4. Asymptote y = −4. y-Achsenabschnitt: x = 0 → 2·1 − 4 = −2.
3. Beschreibe die Transformationen von y = 2ˣ, die y = −3·2^(x − 1) + 5 ergeben.
a = −3: Streckung in y-Richtung um 3 und Spiegelung an der x-Achse. d = 1: um 1 nach rechts verschieben. c = 5: um 5 nach oben verschieben. Neue Asymptote y = 5, Wertebereich y < 5.
4. ₹10,000 (oder ein beliebiger Geldbetrag) werden mit 8 % pro Jahr bei jährlicher Verzinsung angelegt. Berechne den Betrag nach 5 Jahren.
A = P(1 + r)ᵗ = 10000 × 1.08⁵. 1.08² = 1.1664; 1.08⁴ = 1.3605; ×1.08 = 1.4693. A ≈ 14,693.
5. Eine radioaktive Probe von 80 g hat eine Halbwertszeit von 6 Tagen. Wie viel ist nach 18 Tagen übrig?
Anzahl der Halbwertszeiten = 18 ÷ 6 = 3. A = 80 × (½)³ = 80 ÷ 8 = 10 g.
6. Eine Bakterienkultur beginnt mit 200 Zellen und verdoppelt sich alle 3 Stunden. Wann erreicht sie 6400 Zellen?
6400 = 200 · 2^(t/3) → 32 = 2^(t/3). Da 32 = 2⁵ ist, gilt t/3 = 5 → t = 15 Stunden.
Häufige Fehler
- 2·3ˣ als 6ˣ schreiben. Die Potenz gilt nur für die Basis 3: 2·3² = 18, aber 6² = 36.
- Glauben, der Graph schneide die x-Achse. y = a·bˣ mit a > 0 ist immer positiv; die x-Achse ist eine Asymptote.
- r = 8 statt r = 0.08 in (1 + r)ᵗ benutzen. Wandle die Prozentzahl zuerst in eine Dezimalzahl um.
- Das Vorzeichen von d verwechseln: y = 2^(x − 3) verschiebt um 3 nach RECHTS, nicht nach links.