Che cos'è una funzione esponenziale?
Una funzione esponenziale ha la variabile nell'esponente: y = a · bˣ. Qui a è il valore iniziale e b è la base, detta anche fattore di crescita. Serve b > 0 e b ≠ 1.
In una tabella, quando x aumenta di 1, y viene moltiplicato per lo stesso numero b. Quindi il rapporto tra il prossimo y e questo y è costante. Così si riconosce una relazione esponenziale nei dati.
Le regole delle potenze aiutano a semplificare: bᵐ·bⁿ = bᵐ⁺ⁿ, (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ, b⁰ = 1, b⁻ⁿ = 1/bⁿ, b^(1/n) = ⁿ√b.
Grafico, dominio, codominio e asintoto
Per y = bˣ:
- Passa per (0, 1), perché b⁰ = 1.
- Dominio: tutti i numeri reali. Codominio: y > 0.
- L'asse x (y = 0) è un asintoto orizzontale: la curva si avvicina ma non lo tocca mai.
- b > 1: crescente (crescita). 0 < b < 1: decrescente (decadimento).
- Nessuna intersezione con l'asse x; l'intersezione con l'asse y è 1 (oppure a per y = a·bˣ).
Lineare, quadratica o esponenziale? Usa le differenze
Guarda una tabella con passi uguali di x:
- Differenze prime costanti → lineare.
- Differenze seconde costanti → quadratica.
- Rapporti costanti (e le differenze crescono sempre con lo stesso rapporto) → esponenziale.
La crescita esponenziale è lenta all'inizio ma, alla lunga, supera qualsiasi funzione lineare o quadratica.
Trasformazioni: y = a·b^(k(x − d)) + c
- a: allungamento verticale (|a| > 1) o compressione (|a| < 1); se a < 0 il grafico si ribalta rispetto all'asse x.
- k: compressione orizzontale di 1/|k|; se k < 0 si ribalta rispetto all'asse y.
- d: sposta a destra di d (a sinistra se d è negativo).
- c: sposta in alto di c. L'asintoto si sposta in y = c e il codominio diventa y > c (se a > 0).
Ordine da seguire: prima allungamenti e ribaltamenti, poi gli spostamenti. Per ogni punto (x, y) di y = bˣ, il nuovo punto è (x/k + d, a·y + c).
Risolvere problemi: crescita, decadimento e dati
- Crescita del r %: A = P(1 + r)ᵗ. Interesse composto n volte l'anno: A = P(1 + r/n)ⁿᵗ.
- Raddoppio: N = N₀ · 2^(t/T), T = tempo di raddoppio.
- Tempo di dimezzamento: A = A₀ · (½)^(t/h), h = tempo di dimezzamento.
- Diminuzione del r %: A = P(1 − r)ᵗ (per esempio il valore di un'auto, il raffreddamento).
Per modellare dei dati: controlla che i rapporti siano quasi costanti, trova a dal valore iniziale e b dal rapporto medio, oppure usa uno strumento grafico per la regressione esponenziale. Per leggere una risposta dal grafico, cerca dove la curva raggiunge un certo valore di y.
Provaci: piega un foglio a metà, ancora e ancora. Conta gli strati: 1, 2, 4, 8, 16... Dopo 7 pieghe hai 128 strati. Questo è 2ᵗ.
Formule e definizioni chiave
- y = a · bˣ (a ≠ 0, b > 0, b ≠ 1)
- y = a · b^(k(x − d)) + c (asintoto y = c)
- A = P(1 + r)ᵗ crescita; A = P(1 − r)ᵗ decadimento
- A = P(1 + r/n)ⁿᵗ interesse composto
- A = A₀ (½)^(t/h) dimezzamento; N = N₀ · 2^(t/T) raddoppio
Esempi svolti
1. Questa tabella è lineare, quadratica o esponenziale? x: 0,1,2,3; y: 5, 15, 45, 135.
Differenze: 10, 30, 90 (non costanti). Rapporti: 15/5 = 3, 45/15 = 3, 135/45 = 3 → rapporto costante. Esponenziale: y = 5·3ˣ.
2. Indica dominio, codominio, asintoto e intersezione con l'asse y di y = 2·3ˣ − 4.
Dominio: tutti i numeri reali x. a = 2 > 0, c = −4, quindi codominio y > −4. Asintoto y = −4. Intersezione con l'asse y: x = 0 → 2·1 − 4 = −2.
3. Descrivi le trasformazioni di y = 2ˣ che danno y = −3·2^(x − 1) + 5.
a = −3: allungamento verticale di 3 e ribaltamento rispetto all'asse x. d = 1: spostamento di 1 a destra. c = 5: spostamento di 5 in alto. Nuovo asintoto y = 5, codominio y < 5.
4. Si investono ₹10,000 (o qualsiasi valuta) all'8 % annuo con capitalizzazione annuale. Trova l'importo dopo 5 anni.
A = P(1 + r)ᵗ = 10000 × 1.08⁵. 1.08² = 1.1664; 1.08⁴ = 1.3605; ×1.08 = 1.4693. A ≈ 14,693.
5. Un campione radioattivo di 80 g ha un tempo di dimezzamento di 6 giorni. Quanto ne resta dopo 18 giorni?
Numero di dimezzamenti = 18 ÷ 6 = 3. A = 80 × (½)³ = 80 ÷ 8 = 10 g.
6. Una coltura di batteri parte da 200 cellule e raddoppia ogni 3 ore. Quando arriverà a 6400 cellule?
6400 = 200 · 2^(t/3) → 32 = 2^(t/3). 32 = 2⁵, quindi t/3 = 5 → t = 15 ore.
Errori comuni
- Scrivere 2·3ˣ come 6ˣ. La potenza vale solo per la base 3: 2·3² = 18, ma 6² = 36.
- Pensare che il grafico tagli l'asse x. y = a·bˣ con a > 0 è sempre positivo; l'asse x è un asintoto.
- Usare r = 8 invece di 0.08 in (1 + r)ᵗ. Prima trasforma la percentuale in numero decimale.
- Confondere il segno di d: y = 2^(x − 3) si sposta a DESTRA di 3, non a sinistra.