Che cos'è un esponente?
In aⁿ, a è la base e n è l'esponente. Significa che a si moltiplica per se stesso n volte.
Esempio: 5³ = 5 × 5 × 5 = 125. Si legge “5 alla terza” o “5 al cubo”.
Attenzione al segno: (−3)² = 9 ma −3² = −9, perché senza parentesi l'esponente riguarda solo il 3.
Le proprietà principali (stessa base)
- Prodotto: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (conta tutti i fattori insieme).
- Quoziente: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, a ≠ 0 (i fattori uguali si semplificano).
- Potenza di potenza: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (n gruppi di m fattori).
- Potenza di un prodotto: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.
- Potenza di un quoziente: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, b ≠ 0.
Le proprietà valgono solo se le basi sono uguali (oppure se gli esponenti sono uguali, per le ultime due). 2³ × 3² non si può unire in una sola potenza.
Esponenti interi: zero e negativi
Usa la regola del quoziente su a⁵ ÷ a⁵. Il risultato deve essere 1 (un numero diviso per se stesso), e la regola dà a⁰. Quindi a⁰ = 1 per a ≠ 0.
Ora a² ÷ a⁵ = a⁻³, ma semplificando si ottiene 1/a³. Quindi a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Un esponente negativo non rende negativo il numero: 2⁻³ = 1/8.
Un trucco utile: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ. Capovolgi la frazione e rendi positivo l'esponente.
La notazione scientifica usa questa idea: 0.00045 = 4.5 × 10⁻⁴.
Esponenti razionali (frazionari) e reali
(a^(1/2))² = a^1 = a, quindi a^(1/2) deve essere √a. In generale a^(1/n) = ⁿ√a e a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ per a > 0.
Esempio: 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4. Calcola prima la radice: i numeri restano piccoli.
Tutte le proprietà valgono ancora per gli esponenti razionali. Per esponenti irrazionali come 2^√2 ci avviciniamo sempre di più con 2^1.4, 2^1.41, 2^1.414..., così le proprietà si estendono a tutti gli esponenti reali (con base positiva).
Semplici equazioni esponenziali
Se due potenze della stessa base sono uguali, anche gli esponenti sono uguali: se aˣ = aʸ (a > 0, a ≠ 1) allora x = y.
Esempio: 3ˣ⁺¹ = 81 = 3⁴, quindi x + 1 = 4 e x = 3.
Esempio: 4ˣ = 32. Scrivi entrambi come potenze di 2: 2²ˣ = 2⁵, quindi 2x = 5 e x = 2.5.
Nella vita reale: dei batteri che raddoppiano ogni ora: N = 100 × 2ᵗ. Quando è N = 3200? 2ᵗ = 32 = 2⁵, quindi t = 5 ore.
Formule e definizioni chiave
- aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
- (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
- a⁰ = 1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ
Esempi svolti
1. Semplifica 3⁴ × 3².
Stessa base, moltiplicare → sommare: 3⁴⁺² = 3⁶ = 729.
2. Semplifica 7⁸ ÷ 7⁵.
Stessa base, dividere → sottrarre: 7⁸⁻⁵ = 7³ = 343.
3. Trova il valore di (2³)² × 2⁻⁴.
(2³)² = 2⁶. Poi 2⁶ × 2⁻⁴ = 2² = 4.
4. Calcola (2/5)⁻².
Capovolgi e rendi positivo: (5/2)² = 25/4 = 6.25.
5. Calcola 27^(2/3) + 16^(−1/2).
27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9. 16^(−1/2) = 1/√16 = 1/4. Totale = 9.25.
6. Semplifica (x³y⁻²)² ÷ (x²y)⁻¹ e scrivi con esponenti positivi.
(x³y⁻²)² = x⁶y⁻⁴. Dividere per (x²y)⁻¹ equivale a moltiplicare per x²y. Quindi x⁸y⁻³ = x⁸/y³.
7. Risolvi 2ˣ × 4 = 128.
4 = 2², 128 = 2⁷. Quindi 2ˣ⁺² = 2⁷, x + 2 = 7, x = 5.
Errori comuni
- Moltiplicare gli esponenti in un prodotto: 2³ × 2² fa 2⁵, non 2⁶.
- Moltiplicare le basi: 3² × 3⁴ fa 3⁶, non 9⁶.
- Pensare che un esponente negativo renda negativo il risultato: 5⁻² = 1/25, un numero positivo.
- Pensare che a⁰ = 0: ogni numero diverso da zero elevato a 0 fa 1.