Che cos'è la probabilità condizionata?
A volte, prima di fare una previsione, riceviamo una notizia in più. La notizia è un evento B che è già avvenuto. Allora tutti i risultati fuori da B ora sono impossibili. B diventa il nuovo spazio campionario (l'elenco di tutti i risultati possibili).
La probabilità di A dato B si scrive P(A|B). Leggi la barra "|" come "dato".
P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B), con P(B) ≠ 0.
Se i risultati sono ugualmente probabili puoi semplicemente contare: P(A|B) = n(A ∩ B) ÷ n(B).
Proprietà della probabilità condizionata
- 0 ≤ P(A|B) ≤ 1, come ogni probabilità.
- P(S|B) = P(B|B) = 1: nel nuovo mondo, B è certo.
- P(A′|B) = 1 − P(A|B) (A′ significa "non A").
- Per ogni A e C: P(A ∪ C | B) = P(A|B) + P(C|B) − P(A ∩ C | B).
- P(A|B) e P(B|A) di solito sono diverse. Cambia il denominatore della frazione.
Teorema del prodotto (regola della moltiplicazione)
Moltiplica entrambi i membri della definizione per P(B). Ottieni la regola del prodotto:
P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B) = P(A) · P(B|A)
Usala quando le cose avvengono una dopo l'altra, per esempio pescando due carte senza rimettere la prima nel mazzo. Probabilità della prima × probabilità della seconda, data la prima.
Per tre eventi: P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B|A) · P(C|A ∩ B).
Eventi indipendenti
A e B sono indipendenti se sapere uno non ti dice nulla sull'altro: P(A|B) = P(A) (e P(B|A) = P(B)).
Inserisci questo nella regola del prodotto e ottieni il test: P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
- Due monete diverse, due dadi diversi, estrazioni con reinserimento → indipendenti.
- Estrazioni senza reinserimento → di solito dipendenti.
- Se A e B sono indipendenti, lo sono anche A e B′, A′ e B, A′ e B′.
- Tre eventi sono indipendenti solo se ogni coppia funziona e P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C).
Indipendenti non vuol dire incompatibili
Incompatibili (mutuamente esclusivi) vuol dire che A e B non possono avvenire insieme: P(A ∩ B) = 0. Indipendenti vuol dire che non si influenzano. Se entrambi hanno probabilità diversa da zero, non possono essere tutte e due le cose: se A avviene, un B incompatibile diventa impossibile, quindi la notizia ha chiaramente cambiato B.
Provalo a casa
Prendi un mazzo di 10 carte: da 1 a 10. Indovina la probabilità che una carta sia maggiore di 6 (è 4/10). Ora un amico sbircia e dice "è pari". Togli le carte dispari. Restano solo 2, 4, 6, 8, 10, e 8 e 10 sono maggiori di 6: 2/5. Sempre 0,4! Quindi qui "maggiore di 6" e "pari" sono indipendenti. Prova con "maggiore di 5" e guarda la probabilità cambiare.
Formule e definizioni chiave
- P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), P(B) ≠ 0
- P(A|B) = n(A ∩ B) / n(B) (risultati ugualmente probabili)
- P(A′|B) = 1 − P(A|B)
- P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)
- P(A ∩ B ∩ C) = P(A)·P(B|A)·P(C|A ∩ B)
- Indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Esempi svolti
1. P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 e P(A ∩ B) = 0.2. Trova P(A|B) e P(B|A).
Passo 1: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0.2/0.5 = 0.4. Passo 2: P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A) = 0.2/0.6 = 1/3. Nota: le due risposte sono diverse.
2. Si lanciano due dadi equi. Trova la probabilità che la somma sia 8, dato che il primo dado mostra un numero pari.
Passo 1: B = primo dado pari → 3 × 6 = 18 risultati. Passo 2: A ∩ B = (2,6), (4,4), (6,2) → 3 risultati. Passo 3: P(A|B) = 3/18 = 1/6.
3. Una famiglia ha due figli. Dato che almeno uno è una femmina, qual è la probabilità che siano entrambe femmine?
Passo 1: Tutti i casi: FF, FM, MF, MM (ugualmente probabili). Passo 2: B = almeno una femmina → FF, FM, MF (3 casi). Passo 3: A ∩ B = FF (1 caso). Passo 4: P = 1/3 (non 1/2!).
4. Una scatola ha 5 penne rosse e 3 blu. Si estraggono due penne una dopo l'altra senza rimettere la prima. Trova la probabilità che siano entrambe rosse.
Passo 1: P(prima rossa) = 5/8. Passo 2: Ora ci sono 4 rosse su 7: P(seconda rossa | prima rossa) = 4/7. Passo 3: Regola del prodotto: 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14.
5. Da un mazzo di 52 carte si pescano tre carte una alla volta, senza reinserimento. Trova la probabilità che siano tutti re.
Passo 1: P(R1) = 4/52. Passo 2: P(R2 | R1) = 3/51. Passo 3: P(R3 | R1 ∩ R2) = 2/50. Passo 4: Moltiplica: 4/52 × 3/51 × 2/50 = 24/132600 = 1/5525.
6. Si lancia un dado. E = "multiplo di 3", F = "pari". E e F sono indipendenti?
Passo 1: E = {3, 6}, P(E) = 1/3. F = {2, 4, 6}, P(F) = 1/2. Passo 2: E ∩ F = {6}, P(E ∩ F) = 1/6. Passo 3: P(E)·P(F) = 1/3 × 1/2 = 1/6 = P(E ∩ F). Quindi sì, sono indipendenti.
7. A risolve un problema con probabilità 1/2 e B con probabilità 1/3, lavorando da soli (indipendenti). Trova la probabilità che il problema venga risolto.
Passo 1: P(A fallisce) = 1/2, P(B fallisce) = 2/3. Passo 2: Falliscono entrambi (indipendenti): 1/2 × 2/3 = 1/3. Passo 3: Risolto = 1 − 1/3 = 2/3.
8. P(A) = 0.3, P(B) = 0.4, e A, B sono indipendenti. Trova P(A ∪ B) e P(A′ ∩ B′).
Passo 1: P(A ∩ B) = 0.3 × 0.4 = 0.12. Passo 2: P(A ∪ B) = 0.3 + 0.4 − 0.12 = 0.58. Passo 3: P(A′ ∩ B′) = 1 − P(A ∪ B) = 0.42 (verifica: 0.7 × 0.6 = 0.42 ✓).
Errori comuni
- Confondere P(A|B) con P(B|A). L'evento dopo la barra è quello che già conosci: va al denominatore.
- Dividere per l'intero spazio campionario dopo aver saputo B. Dato B, conta solo dentro B.
- Pensare che "indipendenti" voglia dire "non possono avvenire insieme". Quello è incompatibili, un'idea diversa.
- Usare P(A)·P(B) per estrazioni senza reinserimento. La seconda estrazione dipende dalla prima: usa P(A)·P(B|A).