Was ist bedingte Wahrscheinlichkeit?
Manchmal bekommen wir vor dem Raten eine Zusatzinformation. Diese Information ist ein Ereignis B, das schon eingetreten ist. Dann ist jedes Ergebnis außerhalb von B jetzt unmöglich. B wird zum neuen Ergebnisraum (die Liste aller möglichen Ergebnisse).
Die Chance auf A gegeben B schreibt man P(A|B). Den Strich "|" liest man als "gegeben".
P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B), wobei P(B) ≠ 0.
Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen kannst du einfach zählen: P(A|B) = n(A ∩ B) ÷ n(B).
Eigenschaften der bedingten Wahrscheinlichkeit
- 0 ≤ P(A|B) ≤ 1, wie jede Wahrscheinlichkeit.
- P(S|B) = P(B|B) = 1: In der neuen Welt ist B sicher.
- P(A′|B) = 1 − P(A|B) (A′ bedeutet "nicht A").
- Für beliebige A und C: P(A ∪ C | B) = P(A|B) + P(C|B) − P(A ∩ C | B).
- P(A|B) und P(B|A) sind meistens verschieden. Der Nenner des Bruchs ändert sich.
Multiplikationssatz der Wahrscheinlichkeit
Multipliziere beide Seiten der Definition mit P(B). Du erhältst den Multiplikationssatz:
P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B) = P(A) · P(B|A)
Nutze ihn, wenn Dinge nacheinander passieren, zum Beispiel beim Ziehen von zwei Karten ohne Zurücklegen der ersten. Erste Chance × Chance für die zweite, gegeben die erste.
Für drei Ereignisse: P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B|A) · P(C|A ∩ B).
Unabhängige Ereignisse
A und B sind unabhängig, wenn das Wissen über das eine nichts über das andere verrät: P(A|B) = P(A) (und P(B|A) = P(B)).
Setzt du das in den Multiplikationssatz ein, erhältst du den Test: P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
- Zwei verschiedene Münzen, zwei verschiedene Würfel, Ziehen mit Zurücklegen → unabhängig.
- Ziehen ohne Zurücklegen → meistens abhängig.
- Sind A und B unabhängig, dann auch A und B′, A′ und B sowie A′ und B′.
- Drei Ereignisse sind nur dann unabhängig, wenn jedes Paar passt und P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C) gilt.
Unabhängig ist nicht dasselbe wie unvereinbar
Unvereinbar (sich gegenseitig ausschließend) heißt: A und B können nicht zusammen eintreten, P(A ∩ B) = 0. Unabhängig heißt: Sie beeinflussen sich nicht. Haben beide eine Chance größer als null, können sie nicht beides sein: Tritt A ein, wird ein unvereinbares B unmöglich, die Nachricht hat B also klar verändert.
Probier es zu Hause aus
Nimm 10 Karten mit den Zahlen 1 bis 10. Rate die Chance, dass eine Karte größer als 6 ist (es sind 4/10). Jetzt schaut ein Freund nach und sagt: "Sie ist gerade." Nimm die ungeraden Karten weg. Es bleiben nur 2, 4, 6, 8, 10, und 8 und 10 sind größer als 6: 2/5. Dieselbe Zahl 0,4! Hier sind "größer als 6" und "gerade" also unabhängig. Probiere "größer als 5" und sieh, wie sich die Chance ändert.
Wichtige Formeln und Definitionen
- P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), P(B) ≠ 0
- P(A|B) = n(A ∩ B) / n(B) (gleich wahrscheinliche Ergebnisse)
- P(A′|B) = 1 − P(A|B)
- P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)
- P(A ∩ B ∩ C) = P(A)·P(B|A)·P(C|A ∩ B)
- Unabhängig: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Gelöste Beispiele
1. P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 und P(A ∩ B) = 0.2. Berechne P(A|B) und P(B|A).
Schritt 1: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0.2/0.5 = 0.4. Schritt 2: P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A) = 0.2/0.6 = 1/3. Hinweis: Die beiden Ergebnisse sind verschieden.
2. Zwei faire Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance, dass die Augensumme 8 ist, gegeben dass der erste Würfel eine gerade Zahl zeigt?
Schritt 1: B = erster Würfel gerade → 3 × 6 = 18 Ergebnisse. Schritt 2: A ∩ B = (2,6), (4,4), (6,2) → 3 Ergebnisse. Schritt 3: P(A|B) = 3/18 = 1/6.
3. Eine Familie hat zwei Kinder. Gegeben, dass mindestens eines ein Mädchen ist, wie groß ist die Chance, dass beide Mädchen sind?
Schritt 1: Alle Fälle: MM, MJ, JM, JJ (gleich wahrscheinlich; M = Mädchen, J = Junge). Schritt 2: B = mindestens ein Mädchen → MM, MJ, JM (3 Fälle). Schritt 3: A ∩ B = MM (1 Fall). Schritt 4: P = 1/3 (nicht 1/2!).
4. In einer Schachtel liegen 5 rote und 3 blaue Stifte. Zwei Stifte werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Chance, dass beide rot sind?
Schritt 1: P(erster rot) = 5/8. Schritt 2: Jetzt sind es 4 rote von 7: P(zweiter rot | erster rot) = 4/7. Schritt 3: Multiplikationssatz: 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14.
5. Aus einem Kartenspiel mit 52 Karten werden nacheinander drei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Chance, dass alle drei Könige sind?
Schritt 1: P(K1) = 4/52. Schritt 2: P(K2 | K1) = 3/51. Schritt 3: P(K3 | K1 ∩ K2) = 2/50. Schritt 4: Multiplizieren: 4/52 × 3/51 × 2/50 = 24/132600 = 1/5525.
6. Ein Würfel wird geworfen. E = "Vielfaches von 3", F = "gerade". Sind E und F unabhängig?
Schritt 1: E = {3, 6}, P(E) = 1/3. F = {2, 4, 6}, P(F) = 1/2. Schritt 2: E ∩ F = {6}, P(E ∩ F) = 1/6. Schritt 3: P(E)·P(F) = 1/3 × 1/2 = 1/6 = P(E ∩ F). Also ja, sie sind unabhängig.
7. A löst eine Aufgabe mit Chance 1/2 und B mit Chance 1/3, jeder allein (unabhängig). Wie groß ist die Chance, dass die Aufgabe gelöst wird?
Schritt 1: P(A scheitert) = 1/2, P(B scheitert) = 2/3. Schritt 2: Beide scheitern (unabhängig): 1/2 × 2/3 = 1/3. Schritt 3: Gelöst = 1 − 1/3 = 2/3.
8. P(A) = 0.3, P(B) = 0.4, und A, B sind unabhängig. Berechne P(A ∪ B) und P(A′ ∩ B′).
Schritt 1: P(A ∩ B) = 0.3 × 0.4 = 0.12. Schritt 2: P(A ∪ B) = 0.3 + 0.4 − 0.12 = 0.58. Schritt 3: P(A′ ∩ B′) = 1 − P(A ∪ B) = 0.42 (Probe: 0.7 × 0.6 = 0.42 ✓).
Häufige Fehler
- P(A|B) und P(B|A) verwechseln. Das Ereignis hinter dem Strich kennst du schon; es steht im Nenner.
- Nach der Info über B durch den ganzen Ergebnisraum teilen. Gegeben B zählst du nur innerhalb von B.
- Denken, "unabhängig" heiße "können nicht zusammen eintreten". Das ist unvereinbar, eine andere Idee.
- P(A)·P(B) bei Ziehen ohne Zurücklegen benutzen. Die zweite Ziehung hängt von der ersten ab; nimm P(A)·P(B|A).